Darstellung als Markow-Prozess bzw. Gauß-Prozess

Wir zeigen nun, dass der Wiener-Prozess ein Markow-Prozess im Sinne der folgenden (verallgemeinerten) Definition dieses Begriffes ist, die ähnlich zu der in Abschnitt 2.3.1 betrachteten Definition von Markow-Prozessen mit endlichem Zustandsraum ist.

Sei $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ die Familie sämtlicher Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Um den Begriff eines Markow-Prozesses $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit stetiger Zeit und mit Werten in dem (überabzählbaren) Zustandsraum $E=\mathbb{R}$ einzuführen, betrachten wir

• ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\boldsymbol{\alpha}}:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$ sowie
• einen stochastischen Kern ${\mathbf{P}}:\,[0,\infty)\times\mathbb{R}\times\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$, so dass

  $${\mathbf{P}}(h,x,\cdot)\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\,,$$ (15)

  
  

  $${\mathbf{P}}(0,x,\{x\})=1\,,$$ (16)

  
  

  $${\mathbf{P}}(\cdot,\cdot,B)\;\; \mbox{ist eine messbare Funktion auf $[0,\infty)\times\mathbb{R}$,}$$ (17)

  
  

  $${\mathbf{P}}(h_1+h_2,x,B)=\int_\mathbb{R}{\mathbf{P}}(h_2,y,B)\,{\mathbf{P}}(h_1,x,{\rm d}y)$$ (18)

  
  
  für beliebige $h,h_1,h_2\ge 0$, $x\in\mathbb{R}$ und $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Definition

$\;$ 

1. Ein stochastischer Kern ${\mathbf{P}}$, der den Bedingungen (15)-(18) genügt, wird Übergangskern genannt.
2. Ein stochastischer Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ mit Werten in $E=\mathbb{R}$ heißt homogener Markow-Prozess, wenn es einen Übergangskern ${\mathbf{P}}$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\boldsymbol{\alpha}}$ über $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ gibt, so dass
   

   $${ P(X_0\in B_0,X_{t_1}\in B_1,\ldots,X_{t_n}\in B_n)}$$

   $$= \int_{B_0}\int_{B_1}\!\ldots\int_{B_n}{\mathbf{P}}(t_n-t_{n-1},x_... ...n)\ldots {\mathbf{P}}(t_1,x_0,{\rm d}x_1)\,{\boldsymbol{\alpha}}({\rm d}x_0)\,,$$ (19)

   
   
   für beliebige $n=0,1,\ldots$, $B_0,B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, $t_0=0\le t_1 \le\ldots\le t_n$.

Beachte

$\;$ 

• Das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\boldsymbol{\alpha}}$ in (19) wird Anfangsverteilung genannt.
• Außerdem wird ${\mathbf{P}}(h,x,B)$ als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass der Prozess $\{X_t\}$ in $h$ Zeiteinheiten vom Zustand $x$ in einen Zustand aus $B$ übergeht.

Theorem 2.22   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann ist $\{X_t\}$ ein Markow-Prozess mit ${\boldsymbol{\alpha}}=\delta_0$, d.h., ${\boldsymbol{\alpha}}(\{0\})=1$, und

$${\mathbf{P}}(h,x,B)=\sqrt{\frac{1}{2\pi h}}\;\int_B \exp\bigl(-\;\frac{(y-x)^2}{2h}\;\bigr)\,{\rm d}y$$ (20)

für beliebige $h>0$, $x\in\mathbb{R}$ und $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Beweis

 

• Wegen $X_0=0$ genügt es, anstelle von (19), zu zeigen, dass die folgende Desintegrationsgleichung

  $$P(X_{t_1}\in B_1,\ldots,X_{t_n}\in B_n) = \int_{B_1}\!\ldots\int_... ...hbf{P}}(t_n-t_{n-1},x_{n-1},{\rm d}x_n)\ldots {\mathbf{P}}(t_1,0,{\rm d}x_1)\,,$$ (21)

  
  
  für beliebige $n=1,2\ldots$, $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $0< t_1<\ldots< t_n$ gilt.
• Aus der Unabhängigkeit der Zuwächse des Wiener-Prozesses $\{X_t\}$ ergibt sich, dass
  

  $${ P(X_{t_1}\in B_1,X_{t_2}\in B_2,\ldots,X_{t_n}\in B_n)}$$

  $$= P(X_{t_1}\in B_1,X_{t_2}-X_{t_1}\in B_2-X_{t_1},\ldots,X_{t_n}-X_{t_1}\in B_n-X_{t_1})$$

  $$= \int_{B_1} P(X_{t_2}-X_{t_1}\in B_2-x_1,\ldots,X_{t_n}-X_{t_1}\in B_n-x_1) P(X_{t_1}\in \,{\rm d}x_1)$$

  $$= \int_{B_1}\int_{B_2-x_1}\hspace{-0.2cm} P(X_{t_3}-X_{t_2}\in B_3-x_1-x_2,\ldots,X_{t_n}-X_{t_2}\in B_n-x_1-x_2)$$

  $$\hspace{7cm} P(X_{t_2}-X_{t_1}\in \,{\rm d}x_2)\, P(X_{t_1}\in \,{\rm d}x_1)$$

  $$\vdots$$

  $$= \int_{B_1}\int_{B_2-x_1}\,\ldots\, \int_{B_n-x_1-\ldots -x_{n-1}}... ...d}x_n)\,\ldots\,P(X_{t_2}-X_{t_1}\in \,{\rm d}x_2)\, P(X_{t_1}\in \,{\rm d}x_1)$$

  
  

• Somit ergibt sich aus der Normalverteiltheit der Zuwächse von $\{X_t\}$, dass
  

  $${ P(X_{t_1}\in B_1,X_{t_2}\in B_2,\ldots,X_{t_n}\in B_n)}$$

  $$= \int_{B_1}\int_{B_2-x_1}\,\ldots\, \int_{B_n-x_1-\ldots-x_{n-1}} ... ...(t_n-t_{n-1})}}\; \exp\bigl(-\;\frac{x_n^2}{2(t_n-t_{n-1})}\;\bigr)\,{\rm d}x_n$$

  $$\hspace{3.5cm}\ldots\,\sqrt{\frac{1}{2\pi (t_2-t_1)}}\; \exp\bigl... ...\sqrt{\frac{1}{2\pi t_1}}\; \exp\bigl(-\;\frac{x_1^2}{2t_1}\;\bigr)\,{\rm d}x_1$$

  $$= \int_{B_1}\int_{B_2}\,\ldots\, \int_{B_n} \sqrt{\frac{1}{2\pi (t_... ...1})}}\; \exp\bigl(-\;\frac{(x_n-x_{n-1})^2}{2(t_n-t_{n-1})}\;\bigr)\,{\rm d}x_n$$

  $$\hspace{3.5cm}\ldots\,\sqrt{\frac{1}{2\pi (t_2-t_1)}}\; \exp\bigl... ...rt{\frac{1}{2\pi t_1}}\; \exp\bigl(-\;\frac{x_1^2}{2t_1}\;\bigr)\,{\rm d}x_1\,.$$

  
  

• Damit ist die Gültigkeit von (21) gezeigt, wobei der Übergangskern ${\mathbf{P}}$ durch (20) gegeben ist.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Aus dem Beweis von Theorem 2.22 ergibt sich insbesondere, dass $(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})$ ein absolutstetiger Zufallsvektor ist, dessen (gemeinsame) Dichte $f_{t_1,\ldots,t_n}:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ für $0< t_1<\ldots< t_n$ gegeben ist durch

  $$f_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n)=(2\pi)^{-n/2}\bigl(t_1(t_2-t_1... ...;\frac{1}{2}\;\sum\limits_{i=1}^n\;\frac{(x_i-x_{i-1})^2}{t_i-t_{i-1}}\Bigr)\,,$$ (22)

  
  
  wobei $t_0=x_0=0$.
• Aus (22) folgt, dass der Zufallsvektor $(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})$ eine (multivariate) Normalverteilung hat, wobei ${\rm Cov\,}(X_s,X_t)=\min\{s,t\}$ für beliebige $s,t\ge 0$.
• Ein stochastischer Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$, dessen endlich-dimensionale Verteilungen (multivariate) Normalverteilungen sind, wird Gauß-Prozess genannt.