Reparametrisierung der Erwartungswerte

Das in Abschnitt 3.1.1 betrachtete Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse kann auf zwei verschiedene Weisen als lineares Modell dargestellt werden.

• In beiden Fällen wird die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ ,,strukturiert'', d.h., wir verwenden die Schreibweise ${\mathbf{Y}}=\bigl(Y_{11},\ldots,Y_{1n_1},Y_{21}, \ldots,Y_{2n_2},\ldots,Y_{k1},\ldots,Y_{kn_k} \bigr)^\top$, wobei $n_1+\ldots+n_k=n$.
• Der Zufallsvektor ${\mathbf{Y}}$ wird in der Form ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ dargestellt, wobei die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ jeweils unterschiedlich gewählt werden.
  • Dabei hat ${\mathbf{X}}$ im ersten Fall vollen Rang, im zweiten Fall jedoch keinen vollen Rang.
  • Die zweite (reparametrisierte) Darstellung ist auf die Anwendung der allgemeinen Schätz- und Testverfahren ausgerichtet, die in den Abschnitten 3.2 und 3.3 behandelt werden.
  • Bei normalverteilten Störgrößen lässt sich auf diese Weise unter $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ die Verteilung der in (8) betrachteten Testgröße $\sup_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}T_{{\mathbf{a}}}^2$ bestimmen, vgl. die Formel (88) in Abshcnitt 3.4.1.

Fall 1

 

• In diesem Fall ist die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ gegeben durch die $n\times k$ Matrix

  $${\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 & ... ... &\vdots & &\vdots & \vdots 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right) ,$$ (10)

  
  
  und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ ist gegeben durch ${\boldsymbol{\beta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)^\top$.

Fall 2

 

• Wir betrachten die folgende Reparametrisierung der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$, die den Stufen des Einflussfaktors entsprechen.
• Und zwar seien $\mu\in\mathbb{R}$ und $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}$ reelle Zahlen, so dass

  $$\theta_i=\mu+\alpha_i ,\qquad\forall i=1,\ldots,k$$ (11)

  
  
  und

  $$\sum\limits_{i=1}^k n_i\alpha_i=0 .$$ (12)

  
  

• Dann lässt sich die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}$ des einfaktoriellen Varianzanalyse-Modells ebenfalls in der Form ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ darstellen, wobei die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ jetzt allerdings gegeben ist durch die $n\times (k+1)$ Matrix

  $${\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 &\ldots &... ...dots & &\vdots & \vdots 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right) ,$$ (13)

  
  
  und der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ ist gegeben durch ${\boldsymbol{\beta}}=(\mu,\alpha_1,\ldots,\alpha_k)^\top$.

Beachte

 

• Die lineare Nebenbedingung (12) an die Komponenten $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ des Parametervektors ${\boldsymbol {\beta }}$ bewirkt, dass die Darstellung (11) - (12) der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$ eindeutig ist.
• Aus (11) und (12) ergibt sich außerdem, dass
  $$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}{\mathbb{E} } Y_{ij}=\mu ,$$
  wobei
  • der Parameter $\mu$ als allgemeines Mittel der Erwartungswerte ${\mathbb{E} }Y_{ij}$ der Stichprobenvariablen $Y_{ij}$ aufgefasst werden kann und
  • der (Abweichungs-) Parameter $\alpha_i$ der Effekt der $i$-ten Stufe des Einflussfaktors genannt wird.
• Für die in (13) gegebene Designmatrix ${\mathbf{X}}$ gilt ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=k$, d.h., die $n\times (k+1)$-dimensionale Matrix ${\mathbf{X}}$ hat keinen vollen Spaltenrang.

Theorem 3.2   $\;$ Es gilt

$${\mathbb{E} }\overline Y_{\cdot\cdot}=\mu \qquad{\mathbb{E} }\bigl(\overline Y_{i\;\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot}\bigr)=\alpha_i$$ (14)

für jedes $i=1,\ldots,k$, d.h., durch $\overline Y_{\cdot\cdot}$ und $\overline Y_{i\;\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot}$ sind erwartungstreue Schätzer für die Modellparameter $\mu$ bzw. $\alpha_i$ gegeben .

Beweis

$\;$ Aus der Definitionsgleichung von $\overline Y_{\cdot\cdot}$ ergibt sich, dass

$${\mathbb{E} }\overline Y_{\cdot\cdot\cdot} = \frac{1}{\sum_{i=1}^k n_i}\;\sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}... ...; \mu+\frac{1}{\sum_{i=1}^k n_i}\;\sum\limits_{i=1}^k n_i\alpha_i \;=\; =\mu ,$$

wobei sich die letzte Gleichheit aus der Reparametrisierungsbedingung (12) ergibt. Die zweite Teilaussage in (14) lässt sich auf analoge Weise beweisen.

$\Box$