Güteeigenschaften; lokale Alternativen

Es ist nicht schwierig, die folgende (punktweise) Konsistenz des $\chi ^2$--Anpassungstests zu zeigen.

Theorem 5.6   $\;$ Der $\chi ^2$--Anpassungstest ist punktweise konsistent gegen jeden Vektor ${\mathbf{p}}=(p_1,\ldots,p_{r-1})^\top\in[0,1]^{r-1}$ mit ${\mathbf{p}}\not={\mathbf{p}}_0$, d.h., es gilt

$$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{\mathbf{p}}\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n)>\chi^2_{r-1,1-\alpha}\bigr)=1 .$$ (43)

Beweis

 

• Aus ${\mathbf{p}}\not={\mathbf{p}}_0$ folgt, dass für ein $j\in\{1,\ldots,r-1\}$

  $$p_j\not= p_{0,j} .$$ (44)

  
  

• Außerdem ergibt sich aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15), dass $Z_{nj}/n\stackrel{{\rm f.s.}}{\longrightarrow}p_j$ für $n\to\infty$ unter $\mathbb{P}_{\mathbf{p}}$.
• Hieraus und aus (44) folgt, dass unter $\mathbb{P}_{\mathbf{p}}$
  $$T_n(X_1,\ldots,X_n)\ge n\Bigl(\;\frac{Z_{nj}}{n}\;-p_{0,j}\Bigr)^2\stackrel{{\rm f.s.}}{\longrightarrow}\infty .$$

• Damit ist (43) bewiesen.
  
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Beachte

 

• Anstelle eines fest vorgegebenen Vektors ${\mathbf{p}}\not={\mathbf{p}}_0$ sind auch lokale Alternativen ${\mathbf{p}}_n=(p_{n1},\ldots,p_{n,r-1})^\top$ der Form

  $$p_{nj}=p_{0j}+\;\frac{h_j}{\sqrt{n}}\qquad\forall j=1,\ldots,r-1$$ (45)

  
  
  denkbar, die vom Stichprobenumfang $n$ abhängen können, wobei

  $$\sum\limits_{j=1}^r h_j=0 .$$ (46)

  
  

• Dann kann man zeigen, dass für $n\to\infty$ die asymptotische Macht des $\chi ^2$--Anpassungstests gegen solche Alternativen kleiner als $1$ sein kann.

Um diese Behauptung zu beweisen, benötigen wir als Hilfsmittel die folgende Abschätzung, die in der Literatur die Ungleichung von Berry-Esséen genannt wird.

Lemma 5.5   $\;$ Sei $Y_1,Y_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E} }\bigl(\vert Y_1\vert^3\bigr)<\infty$. Wenn ${\mathbb{E} }Y_1=0$ und ${\rm Var } Y_1=1$, dann gilt für jedes $n\ge 1$

$$\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\;\Bigl\vert\mathbb{P}\Bigl(\frac{Y_1... ...\Bigr\vert\le C\;\frac{{\mathbb{E} }\bigl(\vert Y_1\vert^3\bigr)}{\sqrt{n}}\;,$$ (47)

wobei $\Phi:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der N$(0,1)$-Verteilung bezeichnet und $C<\infty$ eine universelle Konstante ist, die nicht von der Verteilung der Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ abhängt.

Theorem 5.7   $\;$ Sei $\{{\mathbf{p}}_n\}$ eine Folge von Vektoren, die durch $(\ref{lok.alt.for})$ und $(\ref{lok.alt.sum})$ gegeben sind.

• Dann gilt für jedes $x\ge 0$

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n)\le x\bigr)= F_{r-1,\lambda}(x) ,$$ (48)

  
  
  wobei $F_{r-1,\lambda}:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der nichtzentralen $\chi ^2$-Verteilung mit $r-1$ Freiheitsgraden ist, deren Nichtzentralitätsparameter $\lambda$ gegeben ist durch

  $$\lambda=\sum\limits_{j=1}^r\;\frac{h_j^2}{p_{0j}}\;.$$ (49)

  
  

• Wenn $h_j\not=0$ für ein $j=1,\ldots,r$, dann konvergiert die Macht des $\chi ^2$--Anpassungstests bei Betrachtung der lokalen Alternativen $\{{\mathbf{p}}_n\}$ gegen einen Grenzwert, der größer als $\alpha$ und kleiner als $1$ ist, d.h.,

  $$\alpha<\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n)> \chi^2_{r-1,1-\alpha}\bigr)<1 .$$ (50)

  
  

Beweis

 

• Der Beweis der ersten Teilaussage verläuft analog zum Beweis von Theorem 5.5, denn für den in (39) eingeführten Zufallsvektor ${\mathbf{Z}}_n^\prime$ gilt wegen (45) und (46), dass

  $${\mathbf{Z}}_n^\prime=\sqrt{n}\Bigl(\frac{Z_{n1}}{n}\;-p_{n1},\;\ldots,\; \frac{Z_{n,r-1}}{n}\;-p_{n,r-1}\Bigr)^\top +{\mathbf{h}} , \mbox{wobei $\;\;{\mathbf{h}}=(h_1,\ldots,h_{r-1})^\top$.}$$ (51)

  
  

• Wegen (51) kann man so wie beim Beweis des multivariaten zentralen Grenzwertsatzes in Lemma 5.2 zeigen, dass

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\bigl( {\mathb... ...},{\mathbf{K}})}({\mathbf{x}})\qquad\forall {\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^{r-1} .$$ (52)

  
  

• Dabei genügt es lediglich zu beachten, dass man mit der Ungleichung von Berry-Esséen in Lemma 5.5 zeigen kann, dass (in Analogie zu Formel (10) im Beweis von Lemma 5.2)
  • für beliebige ${\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_{r-1})^\top\in\mathbb{R}^{r-1}$ und $x\in\mathbb{R}$
    $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\Bigl(n^{-1/2}... ...igr)\le x\Bigr)=F_{{\rm N}(0,{\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{t}})}(x) ,$$

  • wobei ${\mathbf{K}}$ die in (41) eingeführte Kovarianzmatrix ist.
• Genauso wie im Beweis von Theorem 5.5 erhalten wir nun aus (52), dass
  $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\bigl( {\mathb... ...hbf{I}}_{r-1})}({\mathbf{x}})\qquad\forall {\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^{r-1} .$$
  • Hieraus und aus der Definition der nichtzentralen $\chi ^2$-Verteilung in Abschnitt 1.3.2 ergibt sich, dass
    $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}_{{\mathbf{p}}_n}\bigl( ({\math... ...f{Z}}^\prime_n)\le x\bigr)= F_{r-1,\lambda}(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R} ,$$

  • wobei ${\mathbf{A}}$ die inverse Matrix ${\mathbf{A}}={\mathbf{K}}^{-1}$ in (42) ist und der Nichtzentralitätsparameter $\lambda$ gegeben ist durch
    $$\lambda=({\mathbf{A}}^{1/2}{\mathbf{h}})^\top({\mathbf{A}}^{1/2}{... ...{h}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{h}}=\sum\limits_{j=1}^r\;\frac{h_j^2}{p_{0j}}\;.$$

• Damit ist (48) bewiesen, und wegen $\alpha<1-F_{r-1,\lambda}(\chi^2_{r-1,1-\alpha})<1$ ergibt sich hieraus auch die Gültigkeit von (50).
  
  $\Box$