Markov-Ketten

• Markov-Ketten können die (zeitliche) Entwicklung von Objekten, Sachverhalten, Systemen etc. beschreiben,
  • die zu jedem Zeitpunkt jeweils nur eine von endlich (oder abzählbar unendlich) vielen Ausprägungen annehmen können,
  • die wir die Zustände des betrachteten Objektes, Sachverhaltes bzw. Systems nennen werden.
• Beispiele solcher Objekte, Sachverhalte bzw. Systeme sind
  • die jeweils aktuellen Preise von Produkten, wie Versicherungsprämien, Aktienkurse, Zinsraten, etc., die in einer diskreten (beispielsweise ganzzahligen) Werte-Skala gemessen werden,
  • der monatliche Nettogewinn eines Unternehmens,
  • die aktuellen Längen der Warteschlangen vor den Kassen in Supermärkten,
  • der Vektor von Temperatur, Luftdruck, Niederschlagsmenge und Windgeschwindigkeit, die stündlich an der Wetterstation Ulm-Kuhberg gemessen werden,
  • digitale Landkarten, die beispielsweise das aktuelle Ausbreitungsgebiet einer bestimmten Infektionskrankheit beschreiben können,
  • mikroskopische 2D- bzw. 3D-Bilder, die den aktuellen ,,Zustand'' (d.h. geometrische Struktureigenschaften) von biologischen Geweben, aber auch von keramischen bzw. metallischen Materialien darstellen.

Beachte

 

• In dieser Vorlesung werden wir zeitdiskrete Markov-Ketten untersuchen, d.h., die zeitliche Entwicklung der betrachteten Objekte, Sachverhalte bzw. Systeme wird schrittweise, beispielsweise zu ganzzahligen Zeitpunkten beobachtet.
• Die Algorithmen der Markov-Ketten-Monte-Carlo-Simulation, die wir in der zweiten Hälfte der Vorlesung diskutieren, beruhen gerade auf solchen zeitdiskreten Markov-Ketten.
• Die Anzahl der potentiell möglichen Zustände kann dabei sehr groß sein.
• Aus mathematischen Gründen ist es deshalb manchmal zweckmäßiger, auch den Fall von unendlich vielen Zuständen zu betrachten, wobei sich die Untersuchungsmethoden nur relativ wenig ändern, wenn abzählbar unendlich viele Zustände betrachtet werden.