Beispiele: Wiener-Prozess, zusammengesetzte Poisson-Prozesse, stabile Lévy-Prozesse

Bereits am Anfang von Abschnitt 3.1 hatten wir gezeigt, dass sowohl der Wiener-Prozess als auch beliebige zusammengesetzte Poisson-Prozesse den drei Bedingungen in der Definition von Lévy-Prozessen genügen.

Wir bestimmen nun die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ für diese und weitere Beispiele von Lévy-Prozessen.

1. $\;$ Wiener-Prozess (mit Drift)
   • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess, d.h., insbesondere, dass $X_1\sim\,{\rm N}(0,1)$.
   • Dann gilt also
     $$\varphi_{X_1}(s)={\rm e}^{-s^2/2}\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,.$$

   • Hieraus und aus der Lévy-Chintschin-Formel (5) ergibt sich nun, dass die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ des Wiener-Prozesse $\{X_t\}$ gegeben ist durch $a=0$, $b=1$ und $\nu=0$.
   • Beachte: Für beliebige $\mu\in\mathbb{R}$ und $c\not=0$ wird der stochastische Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=c\,X_t+\mu\,t$ ein Wiener-Prozess mit Drift genannt.
     • Man kann sich leicht überlegen, dass $\{Y_t\}$ ebenfalls ein Lévy-Prozess ist und
     • und dass seine Charakteristik $(a,b,\nu)$ gegeben ist durch $a=\mu$, $b=c^2$ und $\nu=0$.

2. $\;$ zusammengesetzte Poisson-Prozesse
   • Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $(\lambda,P_U)$, wobei $\lambda>0$ die Intensität der Sprungzeitpunkte und $P_U$ die Verteilung der Sprunghöhen bezeichnet.
   • Dann gilt
     $$\varphi_{X_1}(s)=\exp\Bigl(\lambda\int_\mathbb{R}\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr)\,P_U({\rm d}y)\Bigr)\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,,$$
     vgl. die Teilaussage (b) von Theorem 2.10.
   • Hieraus und aus (5) ergibt sich, dass die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ von $\{X_t\}$ gegeben ist durch

     $$a=\lambda \,\int_{-1}^1 y\,P_U({\rm d}y)\,,\qquad b=0\,,\qquad\nu=\lambda\,P_U\,.$$ (24)

     
     

   • Beachte: Für das in (24) betrachtete Lévy-Maß $\nu$ ist $\nu(B)$ die erwartete Anzahl von Sprüngen je Zeiteinheit mit Sprunghöhen in der Menge $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

3. $\;$ Lévy-Prozesse vom Gauß-Poisson-Typ
   • Sei $\{X^{(1)}_t,\,t\ge 0\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess (mit den Charakteristiken $(\lambda,P_U)$), und sei $\{X^{(2)}_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess mit Drift (mit den Charakteristiken $(\mu,c)$).
   • Außerdem seien die stochastischen Prozesse $\{X^{(1)}_t\}$ und $\{X^{(2)}_t\}$ unabhängig.
   • Dann kann man sich leicht überlegen, dass der ,,überlagerte'' Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ mit $X_t=X^{(1)}_t+X^{(2)}_t$ ein Lévy-Prozess ist, dessen Charakteristik $(a,b,\nu)$ gegeben ist durch
     $$a=\mu+\lambda \,\int_{-1}^1 y\,P_U({\rm d}y)\,,\qquad b=c^2\,,\qquad\nu=\lambda\,P_U\,.$$

4. $\;$ stabile Lévy-Prozesse
   • Eine wichtige Eigenschaft der Normalverteilung ist ihre Faltungsstabilität (vgl. Korollar WR-3.2), die sich wie folgt charakterisieren lässt:
     • Sei $X\sim\,{\rm N}(\mu,\sigma^2)$ mit $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$, und $X_1,\ldots,X_n$ seien unabhängige Zufallsvariablen mit $X_k\sim\,{\rm N}(\mu,\sigma^2)$ für jedes $k=1,\ldots,n$.
     • Dann gilt

       $$X_1+\ldots+X_n\stackrel{{\rm d}}{=}\,\sqrt{n}\,X+\mu\bigl(n- \sqrt{n}\bigr)\qquad\forall\,n\ge 1\,.$$ (25)

       
       

   • Die Faltungsgleichung (25) lässt sich auf die folgende Weise verallgemeinern.
     • Die unbegrenzt teilbare Zufallsvariable $X$ bzw. ihre Verteilung $P_X$ heißt stabil, falls es für jedes $n\ge 1$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ gibt,
     • so dass $X_k\stackrel{{\rm d}}{=}X$ für jedes $k=1,\ldots,n$ und

       $$X_1+\ldots+X_n\stackrel{{\rm d}}{=}n^{1/\alpha}\,X+ d_n\qquad\forall\,n\ge 1\,,$$ (26)

       
       
       wobei $\alpha\in(0,2]$ und $d_n\in\mathbb{R}$ für jedes $n\ge 1$ gewisse Konstanten sind.
     • Dabei heißt $\alpha\in(0,2]$ der Stabilitätsindex von $X$.
   • Man kann zeigen, dass für jedes $\alpha\in(0,2]$ eine Lösung der (verallgemeinerten) Faltungsgleichung (26) existiert, vgl. Samorodnitsky und Taqqu (1994) bzw. K.-I. Sato (1999). Dabei gilt für ein $\mu\in\mathbb{R}$
     $$d_n=\left\{\begin{array}{ll} \mu(n-n^{1/\alpha})\,, & \mbox{falls... ...pha\not=1$,}\\ \mu \,n\log n\,,& \mbox{falls $\alpha=1$.} \end{array}\right.$$

   • Neben dem klassischen Fall $\alpha=2$, der zur Normalverteilung führt, gibt es weitere wohlbekannte Beispiele stabiler Verteilungen, für die man zeigen kann, dass sie der Gleichung (26) genügen. Und zwar
     • für $\alpha=1$: die Cauchy-Verteilung mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$, $\sigma^2>0$, deren Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ gegeben ist durch
       $$f(x)=\frac{\sigma}{\pi}\;\frac{1}{(x-\mu)^2+\sigma^2}\qquad\forall\,x\in\mathbb{R}\,,$$

     • für $\alpha=1/2$: die Lévy-Verteilung mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$, $\sigma^2>0$, deren Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ gegeben ist durch
       $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \Bigl(\frac{\sigma}{2\... ...}\Bigr)\,, & \mbox{falls $x>\mu$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$

   • Es ist klar, dass die Faltungsgleichung (26) genau dann gilt, wenn

     $$\bigl(\varphi_X(s)\bigr)^n={\rm e}^{{\rm i}d_ns}\varphi_X(n^{1/\alpha}s)\qquad\forall\,s\in\mathbb{R},\,n\ge 1\,.$$ (27)

     
     

   • Wenn $X\stackrel{{\rm d}}{=}-X$ (wie beispielsweise bei der Cauchy-Verteilung mit $\mu=0$),
     • dann gilt $d_n=0$ für jedes $n\ge 1$,
     • und aus (27) folgt, dass es eine Konstante $c>0$ gibt, so dass

       $$\varphi_X(s)={\rm e}^{-c\vert s\vert^\alpha}\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,.$$ (28)

       
       

   • Außerdem kann man zeigen, dass für jede stabile Zufallsvariable $X$ die Charakteristik $(a,b,\nu)$ in der Lévy-Chintschin-Darstellung (5) von $\varphi_X$ gegeben ist durch eine (beliebige) reelle Zahl $a\in\mathbb{R}$,
     $$b=\left\{\begin{array}{ll} c^2\,, & \mbox{falls $\alpha=2$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $\alpha<2$,} \end{array}\right.$$
     und

     $$\nu({\rm d}y)=\left\{\begin{array}{ll} 0\,, & \mbox{falls $\alpha... ...}}_{(-\infty,0)}(y)\,{\rm d}y \,, & \mbox{falls $\alpha<2$,} \end{array}\right.$$ (29)

     
     
     wobei $c\not=0$ und $c_1,c_2\ge 0$ gewisse Konstanten sind mit $c_1+c_2>0$.
   • Die Tails von stabilen Zufallsvariablen können entweder exponentiell beschränkt sein (für $\alpha=2$) oder polynomial abklingen (für $\alpha<2$):
     • Wenn $X\sim{\rm N}(\mu,\sigma^2)$, d.h., $X$ hat eine stabile Verteilung mit Stabilitätsindex $\alpha=2$, dann gilt
       $$\lim_{x\to\infty}\;\frac{P(\vert X\vert>x)}{{\rm e}^{-x^2/(2\sigma^2)}}\;=0\,,$$
       d.h., $X$ hat sogenannte ,,leichte'' (exponentiell beschränkte) Tails.
     • Wenn $X$ dagegen eine stabile Zufallsvariable mit Stabilitätsindex $\alpha<2$ ist, dann kann man zeigen, dass
       $$\lim_{x\to\infty}\;\frac{P(\vert X\vert>x)}{x^{-\alpha}}\;=c_\alpha$$
       für ein $c_\alpha<\infty$, d.h., $X$ hat ,,schwere'' (polynomial abklingende) Tails.
   • Beachte: Der Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ heißt stabiler Lévy-Prozess, falls $X_1$ eine stabile Verteilung hat.