Subordinatoren

Eine weitere Klasse von Lévy-Prozessen, die insbesondere die zusammengesetzten Poisson-Prozesse mit positiven Sprunghöhen als Spezialfall umfassen, sind die sogenannten Subordinatoren.

Definition

$\;$ Ein Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ heißt Subordinator, wenn mit Wahrscheinlichkeit $1$

$$X_{t_1}\le X_{t_2} \mbox{$\forall\, t_1,t_2\ge 0$\ mit $t_1\le t_2$,}$$ (30)

wobei sich aus (30) wegen $X_0=0$ sofort ergibt, dass $X_t\ge 0$ für jedes $t\ge 0$.

Bevor wir einige konkrete Beispiele von Subordinatoren näher diskutieren, zeigen wir zunächst, wie sich die Lévy-Chintschin-Darstellung (15) von $\varphi_{X_1}$ spezifizieren lässt, wenn $\{X_t\}$ ein Subordinator ist.

Theorem 3.5   $\;$ Der Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ist genau dann ein Subordinator, wenn sich der Lévy-Exponent $\eta(s)$ von $X_1$ darstellen lässt in der Form

$$\eta(s)={\rm i}as+\int_0^\infty \bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1 \bigr)\,\nu({\rm d}y)\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}\,,$$ (31)

wobei $a\ge 0$ und für das Lévy-Maß $\nu$ zusätzlich gilt, dass

$$\nu((-\infty,0))=0 \qquad\int_0^\infty\min\{y,1\}\,\nu({\rm d}y)<\infty\,.$$ (32)

Beweis

$\;$ Wir zeigen zuerst die Hinlänglichkeit der Bedingungen (31) und (32).

• Falls $\nu=0$, dann gilt $X_1=a\ge 0$,
  • und aus der Stationarität der Zuwächse sowie der stochastischen Stetigkeit des Lévy-Prozesses $\{X_t\}$ ergibt sich, dass $X_t=at$ für jedes $t\ge 0$ gilt,
  • d.h., $\{X_t\}$ ist ein Subordinator.
• Sei nun $\nu(1/n,\infty)>0$ für jedes hinreichend große $n\ge n_0$. Aus (31) und (32) ergibt sich dann, dass für jedes $s\in\mathbb{R}$
  $$\varphi_{X_1}(s) = {\rm e}^{{\rm i}as}\;\exp\Bigl(\int_0^\infty \... ...l(\int_{1/n}^\infty \bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1 \bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)\,.$$

• Für jedes $n\ge n_0$ ist dabei $\varphi_n:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit
  $$\varphi_n(s)=\exp\Bigl(\int_{1/n}^\infty \bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1 \bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)\qquad\forall\,s\in\mathbb{R}$$
  die charakteristische Funktion einer nichtnegativen Zufallsvariablen $Z_n$,
  • die eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung mit den Charakteristiken $(\lambda,P_U)$ hat
  • und zwar mit der ,,Poisson-Intensität'' $\lambda=\nu(1/n,\infty)$, wobei $0<\lambda<\infty$,
  • und mit der ,,Sprunghöhen-Verteilung'' $P_U(\cdot)=\nu(\cdot\cap(1/n,\infty))/\nu(1/n,\infty)$, vgl. Abschnitt 2.2.2.
• Es gilt also

  $$X_1\stackrel{{\rm d}}{=}a+\lim_{n\to\infty} Z_n\,,$$ (33)

  
  
  wobei $a\ge 0$ und $\{Z_n\}$ eine Folge von nichtnegativen Zufallsvariablen ist.
  • Aus (33) folgt insbesondere, dass

    $$P(X_1\ge 0)= 1\,.$$ (34)

    
    

  • Außerdem gilt für jedes $n\ge 1$
    $$X_1\stackrel{{\rm d}}{=} X_{1/n}+\bigl(X_{2/n}-X_{1/n}\bigr)+\ldots+\bigl(X_{n/n}-X_{(n-1)/n}\bigr)\,,$$
    wobei die Zufallsvariablen $X_{1/n},\,X_{2/n}-X_{1/n},\,\ldots,\,X_{n/n}-X_{(n-1)/n}$ unabhängig und identisch verteilt sind.
  • Hieraus und aus (34) folgt, dass mit Wahrscheinlichkeit $1$
    $$X_{k/n}-X_{(k-1)/n}\ge 0\qquad\forall\,n\ge 1,\,k=1,\ldots,n\,.$$

  • Aus der Stationarität der Zuwächse des Lévy-Prozesses $\{X_t\}$ ergibt sich nun, dass
    $$X_{k/n}-X_{(k-1)/n}\ge 0\qquad\forall\,k,n\ge 1$$
    bzw.

    $$X_{q_2}-X_{q_1}\ge 0 \mbox{$\forall\,q_1,q_2\in\mathbb{Q}$\ mit $0\le q_1\le q_2$.}$$ (35)

    
    

• Für $t_1,t_2\ge 0$ mit $t_1<t_2$ seien $\{q_n^{(1)}\}$ und $\{q_n^{(2)}\}$ zwei Folgen rationaler Zahlen, so dass $q_n^{(1)}<q_n^{(2)}$ für jedes $n\ge 1$ und $q_n^{(1)}\downarrow t_1$ bzw. $q_n^{(2)}\uparrow t_2$.
  • Dann ergibt sich aus (35), dass für jedes $\varepsilon>0$
    

    $$P(X_{t_2}-X_{t_1}<-\varepsilon) = P\bigl(X_{t_2}-X_{q_n^{(2)}}+\bigl(X_{q_n^{(2)}}-X_{q_n^{(1)}}\bigr)+X_{q_n^{(1)}} -X_{t_1}<-\varepsilon\bigr)$$

    $$\le \displaystyle P\bigl(X_{t_2}-X_{q_n^{(2)}}+X_{q_n^{(1)}} -X_{t_1}<-\varepsilon\bigr)\longrightarrow_{n\to\infty} 0\,,$$

    
    

  • wobei sich der letzte Grenzwert aus der Tatsache ergibt, dass wegen der stochastischen Stetigkeit von $\{X_t\}$
    $$X_{t_2}-X_{q_n^{(2)}}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}0$$   und$$\qquad X_{q_n^{(1)}} -X_{t_1}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}0\,.$$

• Damit ist gezeigt, dass $P(X_{t_2}-X_{t_1}< 0)=\lim_{\varepsilon\downarrow 0} P(X_{t_2}-X_{t_1}<-\varepsilon)=0$ bzw. $P(X_{t_2}-X_{t_1}\ge 0)=1$, d.h., $\{X_t\}$ ist ein Subordinator.

Die Notwendigkeit der Bedingungen (31) und (32) kann man sich wie folgt überlegen.

• Der Lévy-Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sei ein Subordinator, d.h. insbesondere, dass $X_1\ge 0$.
  • Dann ergibt sich unmittelbar aus dem Beweis von Theorem 3.4, dass die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ von $X_1$ so gewählt werden kann, dass $\nu((-\infty,0))=0$.
  • Gemäß Theorem 3.4 gilt somit für die charakteristische Funktion $\varphi_{X_1}$ von $X_1$, dass für jedes $s\in\mathbb{R}$
    

    $$\varphi_{X_1}(s) = \exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_0^\infty\;\bigl({\rm ... ... i}sy}-1-{\rm i}sy{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)$$

    $$= \exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\Bigl)\;\exp\Bigl(\int_0^\inf... ...sy}-1-{\rm i}sy{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)\,.$$

    
    

  • Hieraus ergibt sich mit Hilfe von Theorem 3.2 und dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5), dass $X_1\stackrel{{\rm d}}{=}Y_1+Y_2$, wobei $Y_1,\,Y_2$ zwei unabhängige und unbegrenzt teilbare Zufallsvariablen sind mit $Y_1\sim {\rm N}(a,b)$ sind.
  • Weil andererseits $X_1\ge 0$ gilt, ist dies nur möglich, wenn $b=0$.
• Wir haben somit gezeigt, dass für beliebige $s\in\mathbb{R}$ und $\varepsilon\in(0,1)$
  

  $$\varphi_{X_1}(s) = {\rm e}^{{\rm i}as}\;\exp\Bigl(\int_0^\infty\;\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1-{\rm i}sy{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(0,1)}(y)\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i}s\bigl(a-\int_\varepsilon^1 y\,\nu({\rm d}y)\big... ...\int_\varepsilon^\infty\;\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i}s\bigl(a-\int_\varepsilon^1 y\,\nu({\rm d}y)\bigr)\Bigr) \;\varphi_1(s)\;\varphi_2(s)\,,$$

  
  
  wobei
  $$\varphi_1(s) =\exp\Bigl(\int_0^\varepsilon\;\bigl({\rm e}^{{\rm i... ..._\varepsilon^\infty\;\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr)\,\nu({\rm d}y)\Bigr)\,.$$

• Dabei sind $\varphi_1$ und $\varphi_2$ die charakteristischen Funktionen von gewissen (unabhängigen) Zufallsvariablen, die wir mit $Z_1$ bzw. $Z_2$ bezeichnen, wobei

  $$X_1\stackrel{{\rm d}}{=}a-\int_\varepsilon^1 y\,\nu({\rm d}y) +Z_1+Z_2\,.$$ (36)

  
  
  • Weil die charakteristische Funktion $\varphi_1(s)$ von $Z_1$ zweimal an der Stelle $s=0$ differenzierbar ist, existiert der Erwartungswert von $Z_1$, wobei ${\mathbb{E}\,}Z_1=\varphi^{(1)}_1(0)/{\rm i}$; vgl. beispielsweise S. 183 im Buch von Grimmett und Stirzaker (2001).
  • Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass $\varphi^{(1)}_1(0)=0$ und somit ${\mathbb{E}\,}Z_1=0$, d.h. insbesondere $P(Z_1\le 0)>0$.
  • Andererseits gilt auch $P(Z_2\le 0)>0$, weil $Z_2$ für jedes $\varepsilon\in(0,1)$ eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung hat.
  • Wegen der (angenommenen) Unabhängigkeit der Zufallsvariablen $Z_1$ und $Z_2$ folgt hieraus, dass

    $$P(Z_1+Z_2\le 0)\ge P(Z_1\le 0)\,P(Z_2\le 0) >0\,.$$ (37)

    
    

• Wegen (36) und (37) kann also $X_1\ge 0$ nur dann mit Wahrscheinlichkeit $1$ gelten, wenn
  $$a-\int_\varepsilon^1 y\,\nu({\rm d}y)\ge 0\qquad\forall\,\varepsilon\in(0,1)\,.$$

• Hieraus folgt, dass $a\ge 0$ und $\int_0^\infty\min\{y,1\}\,\nu({\rm d}y)<\infty$.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Das Paar $(a,\nu)$ in (31) wird Lévy-Charakteristik des Subordinators $\{X_t\}$ genannt.
• Es ist klar, dass die in (32) betrachtete (verschärfte) Integrierbarkeitseigenschaft des Lévy-Maßes $\nu$ äquivalent ist mit der Bedingung, dass

  $$\int_0^\infty\;\frac{y}{1+y}\;\nu({\rm d}y)<\infty\,.$$ (38)

  
  

• Außerdem kann man sich leicht überlegen,
  • dass für jedes $t\ge 0$ die Abbildung $s\to{\mathbb{E}\,}{\rm e}^{{\rm i}sX_t}$ analytisch in das Teilgebiet $\{{\rm i}u:\,u\ge 0\}$ der komplexen Ebene fortgesetzt werden kann und
  • dass sich dabei die folgende Formel für die Laplace-Transformierte ${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uX_t}$ von $X_t$ ergibt: Für beliebige $t,u\ge 0$ gilt

    $${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uX_t}={\rm e}^{-t\,\xi(u)}\,, \qquad \xi(u)= au+\int_0^\infty \bigl(1-{\rm e}^{-uy} \bigr)\,\nu({\rm d}y)\,.$$ (39)

    
    

• Die Funktion $\xi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ in (39) wird Laplace-Exponent des Subordinators $\{X_t\}$ genannt.

Außer den zusammengesetzten Poisson-Prozessen mit positiven Sprunghöhen, die wir bereits am Anfang dieses Abschnittes erwähnt haben und deren Lévy-Maß $\nu$ endlich ist, gibt es noch weitere Klassen von Subordinatoren (mit unendlichem Lévy-Maß).

Beispiel

($\alpha$-stabile Subordinatoren)$\;$

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Subordinator mit $a=0$, dessen Lévy-Maß $\nu$ gegeben ist durch

  $$\nu({\rm d}y)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\alpha}... ...ha}}\;{\rm d}y &\mbox{für $y>0$,}\\ 0 &\mbox{für $y\le 0$,} \end{array}\right.$$ (40)

  
  
  wobei $\alpha\in(0,1)$ und $\Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)$ die Gammafunktion bezeichnet mit
  $$\Gamma(p)=\int_0^\infty{\rm e}^{-y}\,y^{p-1}\,{\rm d}y\,,\qquad\forall\, p>0\,.$$

• Beachte: Das in (40) gegebene Lévy-Maß $\nu$ hat die Form (29).
• Außerdem kann man in diesem Fall leicht zeigen, dass (28) gilt bzw. (äquivalent hierzu) dass

  $${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uX_t}={\rm e}^{-tu^\alpha}\qquad\forall\, t,u\ge 0\,.$$ (41)

  
  
  • Denn für beliebige $u\ge 0$ und $\alpha\in(0,1)$ gilt die Identität
    $$u^\alpha=\;\frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}\;\int_0^\infty(1-{\rm e}^{-uy})\;\frac{{\rm d}y}{y^{1+\alpha}}\;.$$

  • Dies ergibt sich aus den folgenden Überlegungen: Es gilt
    

    $$\int_0^\infty(1-{\rm e}^{-uy})\,y^{-1-\alpha}\,{\rm d}y = \int_0^\infty\Bigl(\int_0^y u{\rm e}^{-uz}\,{\rm d}z\Bigr) \,y^{-1-\alpha}\,{\rm d}y$$

    $$= \int_0^\infty\Bigl(\int_z^\infty y^{-1-\alpha}\,{\rm d}y\Bigr)\, u{\rm e}^{-uz}\,{\rm d}z$$

    $$= \;\frac{u}{\alpha}\; \int_0^\infty {\rm e}^{-uz}z^{-\alpha}\,{\rm d}z = \;\frac{u^\alpha}{\alpha}\; \int_0^\infty {\rm e}^{-x}x^{-\alpha}\,{\rm d}x$$

    $$= \;\frac{u^\alpha}{\alpha}\; \Gamma(1-\alpha)\,.$$

    
    

  • Aus (39) und (40) ergibt sich nun, dass die Laplace-Transformierte ${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uX_t}$ von $X_t$ durch (41) gegeben ist.

  • Die Zufallsvariable $X_t$ hat also für jedes $t\ge 0$ eine stabile Verteilung mit dem Stabilitätsindex $\alpha\in(0,1)$, d.h., der Subordinator $\{X_t\}$ mit dem in (40) gegebenen (unendlichen) Lévy-Maß $\nu$ ist ein $\alpha$-stabiler Lévy-Prozess.