Anwendungsbeispiele

Wir diskutieren nun eine Reihe von Anwendungsbeispielen des zentralen Grenzwertsatzes, der in Theorem 5.16 bzw. Korollar 5.4 gegeben ist.

1. $\;$ maximaler Gewinn bei $n$-maligem Münzwurf
   • Seien $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit
     $$P(X_1=1)=P(X_1=-1)=\frac{1}{2}\;.$$

   • Wir deuten $X_i$ als den zufälligen Gewinn beim $i$-ten Münzwurf und betrachten die maximale (kumulative) Gewinnsumme
     $$M_n=\max\limits_{j=1,\ldots,n} S_j\,,$$
     die beim $n$-maligen Werfen einer Münze erzielt wird, wobei $S_j=\sum_{i=1}^j X_i$.
   • Es gilt

     $$\lim\limits_{n\to\infty} P\Bigl(\frac{M_n}{\sqrt{n}}\le x\Bigr) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\int_0^x e^{-y^2/2}\, dy\qquad\forall x\ge 0\,.$$ (68)

     
     

   • D.h., die normierten Maxima $M_n/\sqrt{n}$ streben in Verteilung gegen die sogenannte asymmetrische (Standard-) Normalverteilung.
   • Dies kann man sich wie folgt überlegen: Für jedes $m\in\mathbb{N}$ gilt
     

     $$P(M_n\ge m) = P(M_n\ge m, S_n<m)+P(M_n\ge m, S_n=m)+P(M_n\ge m, S_n>m)$$

     $$= P(M_n\ge m, S_n<m)+P(S_n=m)+P(S_n>m)\,.$$

     
     

   • Außerdem gilt
     $$P(M_n\ge m, S_n>m)=P(M_n\ge m, S_n<m)\,,$$
     denn
     

     $$P(M_n\ge m, S_n>m) = \sum\limits_{j=1}^{n-1} P(S_1<m,\ldots,S_{j-1}<m,S_j=m,S_n>m)$$

     $$= \sum\limits_{j=1}^{n-1} P(S_1<m,\ldots,S_{j-1}<m,S_j=m,S_n-S_j>0)$$

     $$= \sum\limits_{j=1}^{n-1} P(S_1<m,\ldots,S_{j-1}<m,S_j=m)P(S_n-S_j>0)$$

     $$= \sum\limits_{j=1}^{n-1} P(S_1<m,\ldots,S_{j-1}<m,S_j=m)P(S_n-S_j<0)$$

     $$\vdots$$

     $$= P(M_n\ge m, S_n<m)\,.$$

     
     

   • Also gilt für jedes $m\in\mathbb{N}$
     $$P(M_n\ge m)=2P(S_n>m)+P(S_n=m)=2P(S_n\ge m)-P(S_n=m)\,.$$

   • Hieraus folgt, dass für jedes $x\ge 0$ und $m_n=\min\{i\in\mathbb{N}:\, i>x\sqrt{n}\}$

     $$P\Bigl(\frac{M_n}{\sqrt{n}}> x\Bigr)=P(M_n\ge m_n)=2P\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt{n}}> x\Bigr)-P(S_n=m_n)\,.$$ (69)

     
     

   • Weil $\mu={\mathbb{E}\,}X_1=0$ und $\sigma^2={\mathbb{E}\,}X_1^2=1$, ergibt sich aus Theorem 5.16, dass
     $$\lim\limits_{n\to\infty} P\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt{n}}> x\Bigr)=1-\Phi(x)$$
     und dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $n_0\in\mathbb{N}$ gibt, so dass
     $$P(S_n=m_n)\le P\Bigl(x<\frac{S_n}{\sqrt{n}}\le x+\varepsilon\Bigr)\le 2\varepsilon$$
     für jedes $n\ge n_0$, wobei sich die letzte Ungleichung aus (45) und durch die erneute Anwendung von Theorem 5.16 ergibt.
   • Hieraus und aus (69) ergibt sich nun die Behauptung (68).

   
   

2. $\;$ fehlerbehaftete Messungen
   • So wie in dem Beispiel, das bereits in Abschnitt 4.4.3 betrachtet wurde, nehmen wir an, dass die $n$-te Messung einer (unbekannten) Größe $\mu\in\mathbb{R}$ den Wert $\mu+X_n(\omega)$ liefert für $\omega \in \Omega$.
   • Die Messfehler $X_1,X_2,\ldots$ seien unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen.
   • Über die Verteilung von $X_n$ sei lediglich bekannt, dass ${\mathbb{E}\,}X_n=0$ und ${\rm Var\,}X_n= \sigma^2$.
   • Ein Ansatz zur ,,Schätzung'' der unbekannten Größe $\mu$ ist durch das arithmetische Mittel
     $$Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n(\mu+X_i)$$
     der zufälligen Messwerte $\mu+X_i$ gegeben.
   • Mit Hilfe von Korollar 5.4 lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon)$, dass der Schätzfehler $\vert Y_n-\mu\vert$ größer als $\varepsilon$ ist, näherungsweise bestimmen.
   • Und zwar gilt für große $n$
     

     $$P(\vert Y_n-\mu\vert>\varepsilon) = P\Bigl(\Bigl\vert\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\Bigr\vert> \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

     $$= 1-P\Bigl(\Bigl\vert\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\Bigr\vert\le \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

     $$= 1-P\Bigl(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\le \frac{X_1+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt{n}}\le \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)$$

     $$\stackrel{(\ref{zgws2})}{\approx} 1-\Bigl(\Phi\Bigl(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)- \Phi\Bigl(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\Bigr)$$

     $$= 2 \Bigl(1-\Phi\Bigl(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\Bigr)\,.$$

     
     

   
   

3. $\;$ Summen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden
   • Mit Hilfe des Satzes von Slutsky (vgl. die Theoreme 5.9 und 5.11) zeigen wir nun, wie die Aussage von Theorem 5.16 auf den Fall von Summen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden übertragen werden kann.
   • Seien $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit $X_n\in L^2$ und ${\rm Var\,}X_n>0$.
   • Ohne Einschränkung der Allgemeinheit setzen wir voraus, dass ${\mathbb{E}\,}X_n=0$ und ${\rm Var\,}X_n=1$.
   • Außerdem sei $N_1,N_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{N}$ eine Folge von Zufallsvariablen, so dass $N_1\le N_2\le\ldots$ und $N_n\to\infty$ mit Wahrscheinlichkeit 1.
   • Falls es Konstanten $a_1,a_2,\ldots>0$ und $c>0$ mit $a_1\le a_2\le\ldots$ und $a_n\to\infty$ gibt, so dass

     $$\frac{N_n}{a_n}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}c$$ (70)

     
     
     für $n\to\infty$, dann gilt

     $$\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}Z \qquad \frac{S_{N_n}}{\sqrt{a_n}}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} \sqrt{c} Z\,,$$ (71)

     
     
     wobei $S_n=X_1+\ldots+X_n$ und $Z$ eine N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariable ist.
   • Die Gültigkeit von (71) kann man sich wie folgt überlegen.
   • Sei $k_n=\lfloor ca_n\rfloor$ der ganzzahlige Anteil von $ca_n$.
   • Wegen (70) gilt dann auch

     $$\frac{N_n}{k_n}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}1 \qquad \frac{k_n}{N_n}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}1$$ (72)

     
     
     für $n\to\infty$.
   • Außerdem gilt
     $$\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}}=\sqrt{\frac{k_n}{N_n}}\Bigl(\frac{S_{k_n}}{\sqrt{k_n}}+ \frac{S_{N_n}-S_{k_n}}{\sqrt{k_n}}\Bigr)$$
     und, wegen Theorem 5.16,
     $$\frac{S_{k_n}}{\sqrt{k_n}}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}Z\,.$$

   • Wegen (72) und wegen des Satzes von Slutsky (vgl. die Theoreme 5.9 und 5.11) genügt es nun noch zu zeigen, dass

     $$\frac{S_{N_n}-S_{k_n}}{\sqrt{k_n}}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}0$$ (73)

     
     
     für $n\to\infty$.
   • Für beliebige $\varepsilon,\delta>0$ gilt
     

     $$P\bigl(\vert S_{N_n}-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n}\bigr) = P\bigl(\vert S_{N_n}-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n},\,\vert N_n-k_n\vert\le \delta k_n \bigr)$$

     $$+ P\bigl(\vert S_{N_n}-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n},\,\vert N_n-k_n\vert> \delta k_n \bigr)$$

     $$\le P\bigl(\vert S_{N_n}-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n},\,\vert N_n-k_n\vert\le \delta k_n \bigr)+ P\bigl(\vert N_n-k_n\vert> \delta k_n \bigr)\,.$$

     
     

   • Wegen (72) konvergiert der zweite Summand gegen 0 für $n\to\infty$.
   • Der erste Summand lässt sich wie folgt weiter nach oben abschätzen:
     

     $$P\bigl(\vert S_{N_n}-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n},\,\vert N_n-k_n\vert\le \delta k_n \bigr) \le P\Bigl(\max\limits_{k_n\le j\le(1+\delta)k_n}\vert S_j-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n}\Bigr)$$

     $$+P\Bigl(\max\limits_{(1-\delta)k_n\le j\le k_n}\vert S_j-S_{k_n}\vert>\varepsilon\sqrt{k_n}\Bigr)$$

     $$\le \frac{(1+\delta)k_n-k_n+1}{k_n\varepsilon^2}+\frac{k_n-(1-\delta)k_n+1}{k_n\varepsilon^2}$$

     $$\le \frac{2(\delta+1)}{\varepsilon^2}\:,$$

     
     
     wobei sich die vorletzte Abschätzung aus der Ungleichung von Kolmogorow (vgl. Lemma 5.2) ergibt.
   • Weil $\delta>0$ beliebig klein gewählt werden kann, ergibt sich hieraus die Gültigkeit von (73).
   • Damit ist die erste Teilaussage in (71) bewiesen. Die zweite Teilaussage ergibt sich aus der ersten Teilaussage in (71) und aus dem Satz von Slutsky (vgl. die Theorem 5.11).

   
   

4. $\;$ Erneuerungsprozesse
   • Seien $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to(0,\infty)$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable, die nur positive Werte annehmen können; $0<\mu={\mathbb{E}\,}X_1<\infty$,$\,$ $0<{\rm Var\,}X_1<\infty$.
   • Dann kann man $S_n=X_1+\ldots+X_n$ als den $n$-ten Erneuerungszeitpunkt eines (biologischen, ökonomischen, technischen) Systems auffassen; vgl. Beispiel 6 in Abschnitt 5.2.3.
   • Wir betrachten die zufällige Anzahl $N(t)=\sum_{n=1}^\infty {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{S_n\le t\}}$ von Erneuerungen im Intervall $(0,t]$;$\,$ $t\ge 0$.
   • Für den Erneuerungszählprozess $\{N(t),\,t\ge 0\}$ kann man nun den folgenden zentralen Grenzwertsatz beweisen.
   • Für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt

     $$\lim\limits_{t\to\infty}P\Bigl(\frac{N(t)-t\mu^{-1}}{\sqrt{ct}}\le x\Bigr)=\Phi(x)\,,$$ (74)

     
     
     wobei $c=\mu^{-3}\,{\rm Var\,}X_1$ und $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.
   • Die Gültigkeit von (74) ergibt sich aus den folgenden Überlegungen.
   • Zunächst ergibt sich unmittelbar aus dem Beweis von Theorem 5.16, dass die Konvergenz

     $$\lim\limits_{n\to\infty}P\Bigl(\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n{\rm Var\,} X_1}}\le x\Bigr)=\Phi(x)$$ (75)

     
     
     gleichmäßig in $x\in\mathbb{R}$ erfolgt.
   • Mit der Schreibweise $m(t)=\lfloor x\sqrt{ct}+t\mu^{-1}\rfloor$ gilt außerdem
     

     $$P\Bigl(\frac{N(t)-t\mu^{-1}}{\sqrt{ct}}\le x\Bigr) = P(N(t)\le x\sqrt{ct}+t\mu^{-1})$$

     $$= P(S_{m(t)+1}> t)$$

     $$= P\Bigl(\frac{S_{m(t)+1}-\mu({m(t)+1})}{\sqrt{({m(t)+1}){\rm Var\,} X_1}}> \frac{t-\mu({m(t)+1})}{\sqrt{({m(t)+1}){\rm Var\,}X_1}}\Bigr)\,.$$

     
     

   • Also gilt
     

     $${ \Bigl\vert P\Bigl(\frac{N(t)-t\mu^{-1}}{\sqrt{ct}}\le x\Bigr)-\Phi(x)\Bigr\vert}$$

     $$\le \Bigl\vert P\Bigl(\frac{S_{m(t)+1}-\mu({m(t)+1})}{\sqrt{({m(t)+1}... ...( \frac{t-\mu({m(t)+1})}{\sqrt{({m(t)+1}){\rm Var\,}X_1}}\Bigr)\Bigr)\Bigr\vert$$

     $$+ \Bigl\vert\Bigl(1-\Phi\Bigl( \frac{t-\mu({m(t)+1})}{\sqrt{({m(t)+1}){\rm Var\,} X_1}}\Bigr)\Bigr)-\Phi(x)\Bigr\vert\,.$$

     
     

   • Außerdem gilt für jedes $x\in\mathbb{R}$
     $$\lim\limits_{t\to\infty} m(t)=\lim\limits_{t\to\infty} \lfloor x\sqrt{ct}+t\mu^{-1}\rfloor=\infty\,.$$

   • Wegen (75) und wegen der Symmetrieeigenschaft
     $$1-\Phi(-x)=\Phi(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R}$$
     der Verteilungsfunktion $\Phi$ der N$(0,1)$-Verteilung genügt es somit noch zu zeigen, dass

     $$\lim\limits_{t\to\infty} \frac{t-\mu m(t)}{\sqrt{m(t){\rm Var\,} X_1}}=-x\,.$$ (76)

     
     

   • Weil $m(t)=x\sqrt{ct}+t\mu^{-1}+\varepsilon(t)$ mit $0\le \vert\varepsilon(t)\vert< 1$ für jedes $t\ge 0$ gilt
     

     $$\frac{t-\mu m(t)}{\sqrt{m(t){\rm Var\,}X_1}} = \frac{t-\mu x\sqrt{ct}-t-\mu\varepsilon(t)}{\sqrt{m(t){\rm Var\,}X_1}}$$

     $$= -x\,\frac{\sqrt{\mu^{-1}{\rm Var\,}X_1 t}}{\sqrt{\mu^{-1}{\rm Var... ...\,} X_1\varepsilon(t)}}-\frac{\mu\varepsilon(t)}{\sqrt{m(t){\rm Var\,} X_1}}\;,$$

     
     
     wobei der erste Summand gegen $-x$ und der zweite Summand gegen 0 strebt für $t\to\infty$.
   • Damit ist die Behauptung (74) bewiesen.