Regeneration von Lévy-Prozessen zu Stoppzeiten

In Theorem 2.23 hatten wir für Fall, dass $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess ist, ein Schranke für die Tailfunktion von $\max_{t\in[0,1]} X_t$ hergeleitet.

Im nachfolgenden Abschnitt 3.3.2 werden wir zeigen, dass diese Schranke ,,optimal'' ist, d.h. mit der Tailfunktion von $\max_{t\in[0,1]} X_t$ übereinstimmt. Hierfür zeigen wir zunächst, dass Lévy-Prozesse zu endlichen Stoppzeiten die folgende Regenerationseigenschaft besitzen.

Theorem 3.14    

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ und sei $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ von $\{X_t\}$.
• Dann ist der Prozess $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_{T+t}-X_T$ ebenfalls ein Lévy-Prozess, der adaptiert ist bezüglich der Filtration $\{\mathcal{G}_t,\,t\ge 0\}$ mit $\mathcal{G}_t=\mathcal{F}^X_{T+t}$, wobei
  • der Lévy-Prozess $\{Y_t\}$ unabhängig von $\mathcal{F}^X_T$ ist und
  • $\{Y_t\}$ die gleiche Lévy-Charakteristik wie $\{X_t\}$ hat.

Beweis

$\;$

• Wir betrachten zunächst den Fall, dass $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine beschränkte Stoppzeit ist, d.h., es gelte $P(T<c)=1$ für ein $c<\infty$.
  • Für beliebige $n\ge 1$ und $u_1,\ldots,u_n\in\mathbb{R}$ sind dann durch den Ansatz
    $$\widetilde Y^{(j)}_t={\rm e}^{{\rm i}u_j X_t-t\eta(u_j)}$$
    (komplexwertige) Martingale $\{\widetilde Y^{(j)}_t,\,t\ge 0\}$ für jedes $j=1,\ldots,n$ gegeben, wobei $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ der Lévy-Exponent von $\{X_t\}$ ist; vgl. Beispiel 4 in Abschnitt 3.2.2.
  • Dann gilt für beliebige $A\in\mathcal{F}_T^X$ und $t_0,t_1,\ldots,t_n\ge 0$ mit $t_0<t_1<\ldots<t_n$
    

    $${{\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\exp\bigl({\rm i... ...-1}}}\;\frac{{\rm e}^{(T+t_j)\eta(u_j)}}{{\rm e}^{(T+t_{j-1})\eta(u_j)}}\Bigr)}$$

    $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\prod_{j=1}^n\;\f... ...t_j}}{\widetilde Y^{(j)}_{T+t_{j-1}}}\; {\rm e}^{(t_j-t_{j-1})\eta(u_j)} \Bigr)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl({\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A... ...-t_{j-1})\eta(u_j)}\mid \mathcal{F}^X_{T+t_{n-1}}\Bigr)\Bigr)\,,{\hspace{4cm} }$$

    
    
    wobei sich die letzte Gleichheit aus Teilaussage 5 von Theorem 2.11 ergibt.
  • Aus Lemma 3.9 und aus Teilaussage 4 von Theorem 2.11 ergibt sich nun, dass
    

    $${{\mathbb{E}\,}\Bigl({\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(... ...}\; {\rm e}^{(t_j-t_{j-1})\eta(u_j)}\mid \mathcal{F}^X_{T+t_{n-1}}\Bigr)\Bigr)}$$

    $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\Bigl(\prod_{j=1}... ...}\,}\bigl(\widetilde Y^{(n)}_{T+t_n} \mid \mathcal{F}^X_{T+t_{n-1}}\bigr)\Bigr)$$

    $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\Bigl(\prod_{j=1}... ...e}^{(t_j-t_{j-1})\eta(u_j)} \Bigr)\; {\rm e}^{(t_n-t_{n-1})\eta(u_n)} \Bigr)\,,$$

    
    
    weil aus dem optionalen Sampling-Theorem in Korollar 3.4 folgt, dass
    $${\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde Y^{(n)}_{T+t_n} \mid \mathcal{F}^X_{T+t_{n-1}}\bigr) =\widetilde Y^{(n)}_{T+t_{n-1}}\,,$$
    wobei der Zeitpunkt $t\ge 0$ in der Formel (28) des Korollars 3.4 so zu wählen ist, dass $c+t_n\le t$.
  • Durch Iteration dieser Überlegungen ergibt sich dann insgesamt, dass
    

    $${{\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\exp\bigl({\rm i... ...}}(A)\,\exp\bigl({\rm i}\sum_{j=1}^n u_j (X_{T+t_j}-X_{T+t_{j-1}})\bigr)\Bigr)}$$

    $$= P(A)\prod_{j=1}^n {\rm e}^{(t_j-t_{j-1})\eta(u_j)} = P(A) \;{\mat... ...bigl({\rm i}\sum_{j=1}^n u_j (X_{t_j}-X_{t_{j-1}})\bigr)\Bigr)\,,{\hspace{2cm}}$$

    
    
    d.h., für beliebige $A\in\mathcal{F}_T^X$ und $t_0,t_1,\ldots,t_n\ge 0$ mit $t_0<t_1<\ldots<t_n$ gilt

    $${\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\exp\bigl({\rm i}... ...\,}\Bigl(\exp\bigl({\rm i}\sum_{j=1}^n u_j (X_{t_j}-X_{t_{j-1}})\bigr)\Bigr)\,.$$ (1)

    
    

• Wir zeigen nun, dass (1) auch für endliche (nicht notwendig beschränkte) Stoppzeiten gilt.
  • Sei also $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine beliebige endliche Stoppzeit.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass dann $A\cap\{T\le k\}\in\mathcal{F}_{T\wedge k}^X$ für beliebige $k\ge 1$ und $A\in\mathcal{F}_T^X$.
  • Somit ergibt sich aus (1), dass

    $${\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A_k)\,\exp\bigl({\rm ... ...\,}\Bigl(\exp\bigl({\rm i}\sum_{j=1}^n u_j (X_{t_j}-X_{t_{j-1}})\bigr)\Bigr)\,,$$ (2)

    
    
    wobei $A_k=A\cap\{T\le k\}$ und $Y_{k,t}=X_{(T\wedge k)+t}-X_{T\wedge k}$.
  • Durch Grenzübergang für $k\to\infty$ auf beiden Seiten von (2) ergibt sich nun mit Hilfe des Satzes von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz, dass (1) auch für beliebige endliche Stoppzeiten gilt.
• Für $A=\Omega$ folgt aus (1), dass $\{Y_t\}$ ein Lévy-Prozess mit der gleichen Verteilung wie $\{X_t\}$ ist.
• Außerdem ergibt sich aus Lemma 3.9, dass der Lévy-Prozess $\{Y_t\}$ adaptiert ist bezüglich der Filtration $\{\mathcal{G}_t,\,t\ge 0\}$ mit $\mathcal{G}_t=\mathcal{F}^X_{T+t}$.
• Es bleibt also noch zu zeigen, dass $\{Y_t\}$ unabhängig von $\mathcal{F}^X_T$ ist, d.h., dass
  • für jede Folge $t_1,\ldots,t_n$ von nichtnegativen Zahlen und für beliebige $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $A\in\mathcal{F}^X_T$
  • die Ereignisse $Y^{-1}_{t_1}(B_1)\cap\ldots\cap Y^{-1}_{t_n}(B_n)$ und $A$ unabhängig sind.
• Hierfür betrachten wir die bedingte Verteilung $P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}\mid\mathcal{F}^X_T}:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\times\Omega\to[0,1]$ mit

  $$P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}\mid\mathcal{F}^X_T}(B,\omega)=P\bigl((Y... ...\bigr)(\omega)\qquad\forall\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\;\omega\in\Omega\,,$$ (3)

  
  
  wobei $P(A\mid\mathcal{F}^X_T)={\mathbb{E}\,}({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\mid\mathcal{F}^X_T)$.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass (3) impliziert, dass mit Wahrscheinlichkeit $1$

    $${\mathbb{E}\,}\bigl(g(Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n})\mid\mathcal{F}^X_T\... ...thbb{R}^n} g(y)\,P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}\mid\mathcal{F}^X_T}({\rm d}y,\omega)$$ (4)

    
    
    für jede Borel-messbare Funktion $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ mit ${\mathbb{E}\,}\bigl\vert g(Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n})\bigr\vert<\infty$.
  • Außerdem folgt aus (1), dass für beliebige $A\in\mathcal{F}_T^X$ und $t_1,\ldots,t_n\ge 0$
    $${\mathbb{E}\,}\Bigl({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\,\exp\bigl({\rm i}... ...\;{\mathbb{E}\,}\Bigl(\exp\bigl({\rm i}\sum_{j=1}^n u_j Y_{t_j}\bigr)\Bigr)\,.$$

  • Hieraus und aus (4) ergibt sich, dass die charakteristischen Funktionen von $P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}\mid\mathcal{F}^X_T}$ und $P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}}$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ übereinstimmen.
  • Aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen folgt nun, dass auch die Verteilungen $P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}\mid\mathcal{F}^X_T}$ und $P_{Y_{t_1},\ldots,Y_{t_n}}$ mit Wahrscheinlichkeit $1$ übereinstimmen.
  • Dies ist gleichbedeutend damit, dass für beliebige $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ und $A\in\mathcal{F}^X_T$ die Ereignisse $Y^{-1}_{t_1}(B_1)\cap\ldots\cap Y^{-1}_{t_n}(B_n)$ und $A$ unabhängig sind.
    
    $\Box$