Subordinatoren als Prozesse von Ersterreichungszeiten

In diesem Abschnitt diskutieren wir zwei weitere Beispiele, bei dem Theorem 3.15 auf die Ersterreichungszeit $T^X_{\{z\}}=\min\{t\ge 0:\, X_t=z\}$ des (Standard-) Wiener-Prozesses $\{X_t,\,t\ge 0\}$ angewendet wird; $z\ge 0$.

Zur Erinnerung: Ein Subordinator $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ heißt $\alpha$-stabiler Lévy-Prozess mit Stabilitätsindex $\alpha\in(0,1)$, wenn $a=b=0$ und das Lévy-Maß $\nu$ gegeben ist durch

$$\nu({\rm d}y)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\alpha}... ...ha}}\;{\rm d}y &\mbox{für $y>0$,}\\ 0 &\mbox{für $y\le 0$,} \end{array}\right.$$ (13)

wobei $\alpha\in(0,1)$ und $\Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)$ die Gammafunktion bezeichnet mit

$$\Gamma(p)=\int_0^\infty{\rm e}^{-y}\,y^{p-1}\,{\rm d}y\,,\qquad\forall\, p>0\,.$$

Beachte

 

• In Formel (41) des Abschnittes 3.1.4 hatten wir gezeigt, dass in diesem Fall

  $${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-u Y_t}={\rm e}^{-tu^\alpha}\qquad\forall\, t,u\ge 0\,.$$ (14)

  
  

• Der $\alpha$-stabile Lévy-Prozess $\{Y_t\}$ mit $\alpha=1/2$ wird manchmal Lévy-Subordinator genannt.

Theorem 3.18   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann ist der Prozess der Ersterreichungszeiten $\{T_t,\,t\ge 0\}$ mit

$$T_t=\min\{s\ge 0:\, X_s=t/\sqrt{2}\}$$ (15)

ein Lévy-Prozess, der die gleiche Verteilung wie der Lévy-Subordinator hat.

Beweis

$\;$

• Wir zeigen zunächst, dass der in (15) gegebene Prozess $\{T_t\}$ ein Lévy-Prozess ist.
  • Offenbar gilt $T_0=0$.
  • Aus Theorem 3.14 folgt, dass $\{T_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat.
  • Außerdem ergibt sich aus Theorem 3.16, dass für jedes $\varepsilon>0$
    $$\lim_{t\to 0} P(T_t>\varepsilon)=\lim_{t\to 0} P\bigl(\max_{s\in [0,\varepsilon]} X_s<t/\sqrt{2}\bigr)=0\,,$$
    d.h., $\{T_t\}$ ist stochastisch stetig.
• Es ist nun noch zu zeigen, dass (14) gilt mit $\alpha=1/2$.
  • Dabei können wir ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.17 vorgehen.
  • Für beliebige $t,u\ge 0$ und $n\ge 1$ betrachten wir das Martingal $\{{\rm e}^{u X_s-su^2/2},\,s\ge 0\}$ und die Stoppzeit $T_t\wedge n$ bezüglich der natürlichen Filtration $\{\mathcal{F}_s^X,\,s\ge 0\}$ von $\{X_s\}$.
  • Aus Korollar 3.4 ergibt sich dann, dass für beliebige $t,u\ge 0$ und $n\ge 1$
    $${\mathbb{E}\,}\exp\bigl(u X_{T_t\wedge n}-(T_t\wedge n)u^2/2\bigr)={\mathbb{E}\,}{\rm e}^{u X_0}=1$$
    bzw.

    $${\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(ut/\sqrt{2}-T_tu^2/2\bigr);\,T_t<n\bigr] +{\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(u X_n-nu^2/2\bigr);\,T_t\ge n\bigr] =1\,.$$ (16)

    
    

  • Weil $P(T_t<\infty)=1$ und weil $X_n\le t/\sqrt{2}$, wenn $T_t\ge n$, ergibt sich genauso wie im Beweis von Theorem 3.17, dass
    $$\lim_{n\to\infty} {\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(u X_n-nu^2/2\bigr);\,T_t\ge n\bigr]=0\qquad\forall\,t,u\ge 0\,.$$

  • Hieraus und aus (16) folgt, dass
    $${\mathbb{E}\,}\exp\bigl(u t/\sqrt{2}-T_tu^2/2\bigr)=1\qquad\forall\,t,u\ge 0$$
    bzw. mit der Substitution $u^\prime=u^2/2$
    $${\mathbb{E}\,}\exp\bigl(t\sqrt{u}-T_tu\bigr)=1\qquad\forall\,t,u\ge 0\,.$$
    
     
      $\Box$
    
    
    

Wir verallgemeinern nun das Modell von Theorem 3.18 und betrachten Prozesse von Ersterreichungszeiten für Wiener-Prozesse mit Drift.

Theorem 3.19   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Für beliebige $\mu\in\mathbb{R}$ und $\delta>0$ ist dann der Prozess der Ersterreichungszeiten $\{T_t,\,t\ge 0\}$ mit

$$T_t=\min\{s\ge 0:\, X_s+\mu s=\delta t\}$$ (17)

ein Lévy-Prozess, wobei

$${\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uT_t}=\exp\bigl(-t\delta(\sqrt{2u+\mu^2}-\mu\bigr)\qquad\forall \,t,u\ge 0\,.$$ (18)

Der Beweis von Theorem 3.19 verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem 3.18. Er wird deshalb weggelassen.

Beachte

 

• Für die in Theorem 3.19 betrachteten Ersterreichungszeiten $T_t$ mit der in (18) gegebenen Laplace-Transformierten kann man zeigen, dass für jedes $x\ge 0$

  $$P(T_t\le x)=\frac{\delta t}{\sqrt{2\pi}}\;{\rm e}^{\delta t\mu}\i... ...{-3/2}\,\exp\bigl(-\;\frac{1}{2}\;(t^2\delta^2y^{-1}+\mu^2y)\bigr)\,{\rm d}y\,.$$ (19)

  
  

• Man sagt, dass Zufallsvariablen mit der in (19) gegebenen Verteilungsfunktion eine inverse Gauß-Verteilung besitzen.

Die in den Theoremen 3.18 bzw. 3.19 betrachteten Subordinatoren $\{T_t,\,t\ge 0\}$ spielen eine wichtige Rolle bei der Zeitransformation von Lévy-Prozessen.

Es gilt nämlich die folgende Invarianz-Eigenschaft von Lévy-Prozessen, die wir hier ohne Beweis angeben.

Theorem 3.20    

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess und sei $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ ein Subordinator, der über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ wie $\{X_t\}$ gegeben ist.
• Wenn $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$ unabhängig sind, dann ist der Prozess $\{Z_t,\,t\ge 0\}$ mit
  $$Z_t(\omega)=X_{Y_t(\omega)}(\omega)\qquad\forall\, \omega\in\Omega$$
  ebenfalls ein Lévy-Prozess.

Ein Beweis von Theorem 3.20 kann zum Beispiel in Applebaum (2004), S. 53-55 nachgelesen werden.