next up previous contents
Nächste Seite: Stochastische Prozesse und Felder Aufwärts: Anwendungsbeispiele Vorherige Seite: Wiener-Prozesse mit negativer Drift   Inhalt


Subordinatoren als Prozesse von Ersterreichungszeiten

In diesem Abschnitt diskutieren wir zwei weitere Beispiele, bei dem Theorem 3.15 auf die Ersterreichungszeit $ T^X_{\{z\}}=\min\{t\ge 0:\, X_t=z\}$ des (Standard-) Wiener-Prozesses $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ angewendet wird; $ z\ge 0$.

Zur Erinnerung: Ein Subordinator $ \{Y_t,\,t\ge 0\}$ heißt $ \alpha$-stabiler Lévy-Prozess mit Stabilitätsindex $ \alpha\in(0,1)$, wenn $ a=b=0$ und das Lévy-Maß $ \nu$ gegeben ist durch

$\displaystyle \nu({\rm d}y)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\alpha}...
...ha}}\;{\rm d}y &\mbox{für $y>0$,}\\  0 &\mbox{für $y\le 0$,} \end{array}\right.$ (13)

wobei $ \alpha\in(0,1)$ und $ \Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)$ die Gammafunktion bezeichnet mit

$\displaystyle \Gamma(p)=\int_0^\infty{\rm e}^{-y}\,y^{p-1}\,{\rm d}y\,,\qquad\forall\, p>0\,.
$

Beachte
 


Theorem 3.18   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann ist der Prozess der Ersterreichungszeiten $ \{T_t,\,t\ge 0\}$ mit

$\displaystyle T_t=\min\{s\ge 0:\, X_s=t/\sqrt{2}\}$ (15)

ein Lévy-Prozess, der die gleiche Verteilung wie der Lévy-Subordinator hat.


Beweis
$ \;$

Wir verallgemeinern nun das Modell von Theorem 3.18 und betrachten Prozesse von Ersterreichungszeiten für Wiener-Prozesse mit Drift.

Theorem 3.19   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Für beliebige $ \mu\in\mathbb{R}$ und $ \delta>0$ ist dann der Prozess der Ersterreichungszeiten $ \{T_t,\,t\ge 0\}$ mit

$\displaystyle T_t=\min\{s\ge 0:\, X_s+\mu s=\delta t\}$ (17)

ein Lévy-Prozess, wobei

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}{\rm e}^{-uT_t}=\exp\bigl(-t\delta(\sqrt{2u+\mu^2}-\mu\bigr)\qquad\forall \,t,u\ge 0\,.$ (18)

Der Beweis von Theorem 3.19 verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem 3.18. Er wird deshalb weggelassen.

Beachte
 


Die in den Theoremen 3.18 bzw. 3.19 betrachteten Subordinatoren $ \{T_t,\,t\ge 0\}$ spielen eine wichtige Rolle bei der Zeitransformation von Lévy-Prozessen.

Es gilt nämlich die folgende Invarianz-Eigenschaft von Lévy-Prozessen, die wir hier ohne Beweis angeben.

Theorem 3.20    

Ein Beweis von Theorem 3.20 kann zum Beispiel in Applebaum (2004), S. 53-55 nachgelesen werden.


next up previous contents
Nächste Seite: Stochastische Prozesse und Felder Aufwärts: Anwendungsbeispiele Vorherige Seite: Wiener-Prozesse mit negativer Drift   Inhalt
Ursa Pantle 2005-07-13