Reflexionsprinzip des Wiener-Prozesses; Verteilung des Maximums

Mit Hilfe von Theorem 3.14 leiten wir nun das folgende Reflexionsprinzip des Wiener-Prozesses her. Es betrifft eine weitere Invarianzeigenschaft des Wiener-Prozesses (zusätzlich zu den bereits in Theorem 2.24 hergeleiteten Eigenschaften dieses Typs).

Theorem 3.15    

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess über $(\Omega,\mathcal{F},P)$ und sei $T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ von $\{X_t\}$.
• Dann hat $\{X_t\}$ die gleiche Verteilung wie der ,,reflektierte Prozess'' $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit

  $$Y_t=X_{T\wedge t}-(X_t-X_{T\wedge t})\,,$$ (5)

  
  
  d.h., $\{Y_t\}$ ist ebenfalls ein (Standard-) Wiener-Prozess.

Beweis

$\;$

• Die stochastischen Prozesse $\{X^\prime_t,\,t\ge 0\}$ und $\{\widetilde X_t,\,t\ge 0\}$ seien gegeben durch
  $$X^\prime_t=X_{T\wedge t}$$   bzw.$$\qquad \widetilde X_t=X_{T+ t}-X_T\,.$$

• Aus Theorem 3.14 folgt dann, dass
  • $\{\widetilde X_t\}$ ein Wiener-Prozess ist, der unabhängig von $(T,\{X^\prime_t\})$ ist.
  • Außerdem ergibt sich aus Teilaussage 1 von Theorem 2.24, dass $\{\widetilde X_t\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{-\widetilde X_t\}$.
  • Insgesamt gilt also

    $$\bigl(T,\{X^\prime_t\},\{\widetilde X_t\}\bigr)\stackrel{{\rm d}}{=} \bigl(T,\{X^\prime_t\},-\{\widetilde X_t\}\bigr)\,.$$ (6)

    
    

• Es genügt nun zu beachten,
  • dass $X_t=X_t^\prime+\widetilde X_{(t-T)_+}$ und $Y_t=X_t^\prime-\widetilde X_{(t-T)_+}$ für jedes $t\ge 0$, wobei $x_+=\max\{x,0\}$.
  • D.h., $X_t$ bzw. $Y_t$ sind messbare Abbildungen von $\bigl(T,\{X^\prime_t\},\{\widetilde X_t\}\bigr)$ bzw. $\bigl(T,\{X^\prime_t\},-\{\widetilde X_t\}\bigr)$.
  • Wegen (6) gilt somit $\{X_t\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{Y_t\}$.
    
    $\Box$

Beachte

 

• Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Die natürliche Filtration $\{\mathcal{F}_t^X,\,t\ge 0\}$ von $\{X_t\}$ ist dann gemäß Theorem 3.13 rechtsstetig.
• Aus Theorem 3.6 folgt somit, dass für jedes $z>0$ die Ersterreichungszeit $T^X_{\{z\}}=\min\{t\ge 0:\, X_t=z\}$ eine Stoppzeit bezüglich $\{\mathcal{F}_t^X\}$ ist.
• Außerdem ergibt sich aus Korollar 2.5, dass $P(T^X_{\{z\}}<\infty)=1$, d.h., $T^X_{\{z\}}$ ist eine endliche Stoppzeit.

Die Anwendung von Theorem 3.15 auf die Ersterreichungszeit $T^X_{\{z\}}$ führt nun zu der folgenden Identität.

Korollar 3.5   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess und sei $\{M_t,\,t\ge 0\}$ der Maximum-Prozess mit

$$M_t=\max_{s\in[0,t]}X_s\qquad\forall\,t\ge 0\,.$$ (7)

Dann gilt für beliebige $y\ge 0$ und $z>0$

$$P(X_t<z-y,\, M_t\ge z)=P(X_t>y+z)\,.$$ (8)

Beweis

$\;$

• Die in (7) betrachtete Abbildung $M_t:\Omega\to[0,\infty)$ ist eine wohldefinierte Zufallsvariable, weil die Trajektorien von $\{X_t\}$ stetige Funktionen sind, vgl. auch die Formel (24) in Abschnitt 2.4.5.
  • Für die endliche Stoppzeit $T=T^X_{\{z\}}=\min\{t\ge 0:\, X_t=z\}$ ergibt sich dann aus Theorem 3.15, dass
    $$\{X_t\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{Y_t\}$$   bzw.$$\qquad \bigl(T^X_{\{z\}},\,\{X_t\}\bigr)\stackrel{{\rm d}}{=}\bigl(T^Y_{\{z\}},\,\{Y_t\}\bigr)\,,$$

  • wobei $T^Y_{\{z\}}=\min\{t\ge 0:\, Y_t=z\}$ die Ersterreichungszeit des Niveaus $z$ durch den in (5) eingeführten Wiener-Prozess $\{Y_t\}$ ist.
  • Hieraus folgt, dass

    $$P(T^X_{\{z\}}\le t,\, X_t<z-y)=P(T^Y_{\{z\}}\le t,\, Y_t<z-y)\,,$$ (9)

    
    

• Weil außerdem $T^X_{\{z\}}(\omega)=T^Y_{\{z\}}(\omega)$ für jedes $\omega\in\Omega$, ergibt sich aus (5), dass
  $$\{T^Y_{\{z\}}\le t\}\cap\{Y_t<z-y\}=\{T^X_{\{z\}}\le t\}\cap\{2z-X_t<z-y\}\,.$$
  • Hieraus und aus (9) folgt nun, dass
    $$P(T^X_{\{z\}}\le t,\, X_t<z-y)=P(T^X_{\{z\}}\le t,\,2z -X_t<z-y)=P(T^X_{\{z\}}\le t,\,X_t>z+y)\,.$$

  • Damit ist die Behauptung (8) beweisen, weil offenbar
    $$P(T^X_{\{z\}}\le t,\,X_t>z+y)=P(X_t>z+y)$$
    und
    $$P(T^X_{\{z\}}\le t,\, X_t<z-y)=P(M_t\ge z,\, X_t<z-y)\,.$$
    
     
      $\Box$
    
    
    

Mit Hilfe von Korollar 3.5 können wir nun zeigen, dass die in Theorem 2.23 hergeleitete Schranke für die Tailfunktion von $M_t=\max_{s\in[0,t]} X_s$ ,,optimal'' ist, d.h. mit der Tailfunktion von $M_t$ übereinstimmt.

Theorem 3.16   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\in [0,1]\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt für beliebige $t>0$ und $x\ge 0$

$$P(M_t > x) =\; \sqrt{\frac{2}{\pi t }}\;\int_x^\infty\,{\rm e}^{-ty^2/2}\,{\rm d}y\,.$$ (10)

Beweis

 

• Für $y=0$ ergibt sich aus Korollar 3.5, dass $P(X_t<z,\, M_t\ge z)=P(X_t>z)$.
• Wenn wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichung die Wahrscheinlichkeit $P(X_t>x)$ addieren und dabei berücksichtigen, dass $\{X_t>z\}=\{X_t>z,\,M_t\ge z\}$, ergibt sich
  $$P( M_t\ge z)=2\,P(X_t>z)$$   bzw.$$\qquad P( M_t> z)=2\,P(X_t>z) \qquad\forall\,z\ge 0\,,$$
  weil $P(X_t=z)=0$ für die (normalverteilte) Zufallsvariable $X_t$ und somit auch $P(M_t=z)=0$ für jedes $z\ge 0$.
  
  $\Box$