Wiener-Prozesse mit negativer Drift

Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess und für $\mu>0$ sei $\{Y_t,\,t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_t-t\mu$ ein Wiener-Prozess mit negativer Drift.

Wir beweisen nun eine Formel für die Tailfunktion des Supremums $\sup_{t\ge 0} Y_t$, wobei $P(\sup_{t\ge 0} Y_t\ge x)$ für jedes $x\ge 0$ als ,,Ruinwahrscheinlichkeit'' über dem unendlichen Zeithorizont $[0,\infty)$ aufgefasst werden kann.

Dabei zeigen wir insbesondere, dass die Schranke für $P(\sup_{t\ge 0} Y_t\ge x)$ ,,exakt'' ist, die wir bereits in Formel (19) des Abschnittes 3.2.4 hergeleitet hatten.

Theorem 3.17   $\;$ Sei $\{X_t,\,t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt für beliebige $\mu>0$ und $x\ge 0$

$$P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t> x\bigr) =\; {\rm e}^{-2\mu x}\,, \mbox{wobei $Y_t=X_t-t\mu$.}$$ (11)

Beweis

$\;$

• Für beliebige $u,x\ge 0$ betrachten wir das Martingal $\{{\rm e}^{u Y_t-t(u^2/2-\mu u)},\,t\ge 0\}$ und die (endliche) Stoppzeit
  $$T_{\{x\}}\wedge t=\inf\{s\ge 0:\, Y_s=x\}\wedge t\qquad\forall\,t\ge 0\,.$$

• Aus Korollar 3.4 ergibt sich dann, dass für beliebige $u,t,x\ge 0$
  $${\mathbb{E}\,}\exp\bigl(u Y_{T_{\{x\}}\wedge t}-(T_{\{x\}}\wedge t)(u^2/2-\mu u)\bigr)={\mathbb{E}\,}{\rm e}^{u Y_0}=1$$
  bzw.

  $${\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(u x-T_{\{x\}}(u^2/2-\mu u)\bigr);... ...{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(u Y_t-t(u^2/2-\mu u)\bigr);\,T_{\{x\}}\ge t\bigr] =1\,.$$ (12)

  
  

• Weil aus Korollar 2.4 folgt, dass $\lim_{t\to\infty} Y_t=-\infty$ mit Wahrscheinlichkeit $1$, gilt für jedes $u\ge 2\mu$
  $$\lim_{t\to\infty}\Bigl(\exp\bigl(u Y_t-t(u^2/2-\mu u)\bigr)\;{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(T_{\{x\}}\ge t\bigr)\Bigr)=0$$
  mit Wahrscheinlichkeit $1$.
• Außerdem gilt
  $$\exp\bigl(u Y_t-t(u^2/2-\mu u)\bigr)\;{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\big... ...u x-t(u^2/2-\mu u)\bigr)\;{1\hspace{-1mm}{\rm I}}\bigl(T_{\{x\}}\ge t\bigr)\,,$$
  wobei der letzte Ausdruck eine (bezüglich $P$) integrierbare Majorante ist.
• Aus dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz folgt also, dass für jedes $u\ge 2\mu$
  $$\lim_{t\to\infty} {\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(u Y_t-t(u^2/2-\mu u)\bigr);\,T_{\{x\}}\ge t\bigr]=0\,.$$

• Hieraus und aus (12) ergibt sich nun, dass
  $${\rm e}^{-ux}={\mathbb{E}\,}\bigl[\,\exp\bigl(-T_{\{x\}}(u^2/2-\mu u)\bigr);\,T_{\{x\}}<\infty\bigr]\qquad\forall\, u\ge 2\mu\,.$$

• Insbesondere ergibt sich für $u=2\mu$, dass für jedes $x\ge 0$
  $${\rm e}^{-2\mu x}=P(T_{\{x\}}<\infty)=P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t\ge x\bigr)\,.$$

• Damit gilt auch $P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t> x\bigr)={\rm e}^{-2\mu x}$ für jedes $x\ge 0$.
  
  $\Box$