Beliebige Designmatrix; verallgemeinerte Inverse

• Wir betrachten nun die folgende Verallgemeinerung des in Kapitel 2 behandelten linearen Modells

  $${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }} ,$$ (1)

  
  
  für das wir bisher stets vorausgestzt hatten, dass die Designmatrix

  $${\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \ldots &... ...ots & \vdots & & \vdots x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nm} \end{array}\right)$$ (2)

  
  
  eine $(n\times m)$-dimensionale Matrix mit vollem (Spalten-) Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$ ist, wobei $n\ge m$.
• In diesem Kapitel werden wir dagegen den Fall ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})\le m$ betrachten, d.h., wir lassen zu, dass ${\mathbf{X}}$ keinen vollen Rang besitzt.
• So wie in Abschnitt 2.1 setzen wir zunächst über den Zufallsvektor ${\boldsymbol{\varepsilon }}=(\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n)^\top$ lediglich voraus, dass

  $${\mathbb{E} }\varepsilon _i=0 ,\qquad{\rm Var }\varepsilon _i=... ...{\rm Cov }(\varepsilon _i,\varepsilon _j)=0 , \qquad\forall i,j=1,\ldots,n\; \mbox{mit $i\not=j$}$$ (3)

  
  
  für eine gewisse (unbekannte) Zahl $\sigma^2>0$.