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Markov-Ketten
- Markov-Ketten können die (zeitliche) Entwicklung von Objekten,
Sachverhalten, Systemen etc. beschreiben,
- die zu jedem Zeitpunkt jeweils nur eine von endlich (oder
abzählbar unendlich) vielen Ausprägungen annehmen können,
- die wir die Zustände des betrachteten Objektes,
Sachverhaltes bzw. Systems nennen werden.
- Beispiele solcher Objekte, Sachverhalte bzw. Systeme sind
- die jeweils aktuellen Preise von Produkten, wie
Versicherungsprämien, Aktienkurse, Zinsraten, etc., die in einer
diskreten (beispielsweise ganzzahligen) Werte-Skala gemessen
werden,
- der monatliche Nettogewinn eines Unternehmens,
- die aktuellen Längen der Warteschlangen vor den Kassen in
Supermärkten,
- der Vektor von Temperatur, Luftdruck, Niederschlagsmenge und
Windgeschwindigkeit, die stündlich an der Wetterstation
Ulm-Kuhberg gemessen werden,
- digitale Landkarten, die beispielsweise das aktuelle
Ausbreitungsgebiet einer bestimmten Infektionskrankheit
beschreiben können,
- mikroskopische 2D- bzw. 3D-Bilder, die den aktuellen ,,Zustand''
(d.h. geometrische Struktureigenschaften) von biologischen
Geweben, aber auch von keramischen bzw. metallischen Materialien
darstellen.
- Beachte
-
- In dieser Vorlesung werden wir zeitdiskrete Markov-Ketten
untersuchen, d.h., die zeitliche Entwicklung der betrachteten
Objekte, Sachverhalte bzw. Systeme wird schrittweise,
beispielsweise zu ganzzahligen Zeitpunkten beobachtet.
- Die Algorithmen der Markov-Ketten-Monte-Carlo-Simulation, die wir
in der zweiten Hälfte der Vorlesung diskutieren, beruhen gerade
auf solchen zeitdiskreten Markov-Ketten.
- Die Anzahl der potentiell möglichen Zustände kann dabei sehr groß
sein.
- Aus mathematischen Gründen ist es deshalb manchmal zweckmäßiger,
auch den Fall von unendlich vielen Zuständen zu betrachten, wobei
sich die Untersuchungsmethoden nur relativ wenig ändern, wenn abzählbar unendlich viele Zustände betrachtet werden.
Unterabschnitte
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Ursa Pantle
2003-09-29