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Markov-Ketten und Monte-Carlo-Simulation
Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Vorlesungsskript
Prof. Dr. Volker Schmidt
Stand: Sommersemester 2003
U
LM, IM
S
EPTEMBER 2003
Inhalt
Einleitung
Markov-Ketten
Modellbeschreibung und Beispiele
Zustandsraum, Anfangsverteilung und Übergangswahrscheinlichkeiten
Beispiele
Rekursive Darstellung
Matrix der
-stufigen Übergangswahrscheinlichkeiten
Ergodizität und Stationarität
Grundlegende Definitionen und quasi-positive Übergangsmatrizen
Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit; Perron-Frobenius-Theorem
Irreduzibilität und Aperiodizität
Stationäre Anfangsverteilungen
Direkte und iterative Berechnungsmethoden
Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit; Reversibilität
Definition und Beispiele
Rekursive Konstruktion der ,,Vergangenheit''
Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit bei Reversibilität
Multiplikativ reversible Version der Übergangsmatrix; Spektraldarstellung
Alternative Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit;
-Kontrast
Dirichlet-Formen und Rayleigh-Theorem
Schranken für die Eigenwerte
und
Monte-Carlo-Simulation
Erzeugung von Pseudozufallszahlen
Einfache Anwendungsbeispiele; Monte-Carlo-Schätzer
Lineare Kongruenzgeneratoren
Tests von Güteeigenschaften
Transformation gleichverteilter Pseudozufallszahlen
Inversionsmethode
Transformationsalgorithmen für diskrete Verteilungen
Akzeptanz- und Verwerfungsmethode
Quotienten von gleichverteilten Zufallsvariablen
Simulationsmethoden mit Markov-Ketten
Beispiel: Hard-Core-Modell
Gibbs-Sampler
Metropolis-Hastings-Algorithmus
Fehleranalyse bei MCMC-Simulation
Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit
MCMC-Schätzer; Bias und Fundamentalmatrix
Asymptotische Schätzvarianz; mittlerer quadratischer Fehler
Kopplungsalgorithmen; perfekte MCMC-Simulation
Vorwärtskopplung; Gegenbeispiel
Propp-Wilson-Algorithmus; Coupling-from-the-Past
Monotone Kopplungsalgorithmen
Beispiele: Geburts- und Todesprozresse; Ising-Modell
Read-Once-Modifikation des CFTP-Algorithmus
Über dieses Dokument ...
Ursa Pantle 2003-09-29
-Kontrast
und
-stufigen Übergangswahrscheinlichkeiten