Monte-Carlo-Simulation

• Neben der Gewinnung von experimentellen Daten im Rahmen von realen Labor- bzw. Feldversuchen erlangte die Erzeugung sogenannter synthetischer Daten durch Computer-Simulation in den letzten Jahren eine immer größere Bedeutung.
• Die Gründe für die zunehmende Nützlichkeit von Computer-Simulationen bei der Untersuchung von interessierenden Sachverhalten/Objekten/Vorgängen sind vielfältig:
  • An erster Stelle ist hier natürlich das rasant wachsende Leistungsvermögen moderner Computer-Systeme zu nennen, das sich in den letzten Jahren in einem ungeahnten Ausmaß weiterentwickelt hat und dabei Möglichkeiten eröffnet, die noch vor kurzem völlig unvorstellbar waren.
  • Im Zusammenhang damit ist die Datengwinnung durch Computer-Simulation oft viel kostengünstiger und mit weniger Zeitaufwand verbunden als die herkömmliche Gewinnung von experimentellen Daten im Rahmen von realen Labor- bzw. Feldversuchen.
  • Außerdem lassen sich (virtuelle) Computer-Experimente unter gleichbleibenden Versuchsbedingungen beliebig oft wiederholen, wogegen beispielsweise bei naturwissenschaftlichen Experimenten das untersuchte Objekt während der Versuche oft beschädigt bzw. zerstört wird.
• Ein weiterer Grund für die Nützlichkeit von Computer-Simulationen besteht darin, dass
  • der Umfang und die Struktur der zu analysierenden Datensätze oft sehr komplex ist,
  • die Verarbeitung und Bewertung der Daten dann typischerweise auf mathematischen Modellen beruht, deren charakteristische Eigenschaften nicht (oder nur teilweise) mit geschlossenen analytischen Formeln beschrieben werden können,
  • die Computer-Simulation der betrachteten Modelle in diesem Fall ein nützliches (alternatives) Analyse-Tool ist.

• Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten/Objekten/Vorgängen beruhen auf stochastischen Simulationsalgorithmen. Man spricht deshalb auch von Monte-Carlo-Simulation. Dabei gibt es unterschiedliche Arten von Simulationsalgorithmen.
  1. Die Grundlage zur Monte-Carlo-Simulation von (einzelnen) Merkmalen/Kenngrößen/Variablen bilden Zufallszahlen-Generatoren.
     • Dies sind Algorithmen, durch die Realisierungen von Zufallsvariablen per Computer erzeugt werden können, die Pseudozufallszahlen genannt werden.
     • Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Zufallszahlen-Generatoren, durch die Realisierungen von Zufallsvariablen erzeugt werden können, die auf dem Einheitsintervall $(0,1]$ gleichverteilt sind, sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen.
     • Hiervon ausgehend lassen sich dann durch gewisse Transformations- bzw. Verwerfungsmethoden auch Pseudozufallszahlen für Zufallsvariablen mit anderen Verteilungen erzeugen, zum Beispiel für binomialverteilte, Poisson-verteilte oder normalverteilte Zufallsvariablen.

  2. Computer-Experimente zur Untersuchung von hochdimensionalen Zufallsvektoren oder der zeitlichen Entwicklung von Sachverhalten/Objekten/ Vorgängen beruhen auf anspruchsvolleren Algorithmen der dynamischen Monte-Carlo-Simulation.
     • Eine zentrale Rolle spielen dabei die Algorithmen der Markov-Chain-Monte-Carlo-Simulation (MCMC-Simulation), durch die insbesondere zeitstationäre Gleichgewichtszustände von Sachverhalten/Objekten/Vorgängen näherungsweise simuliert werden können.
     • Ein anderes Beispiel, bei denen Algorithmen der MCMC-Simulation angewendet werden, ist die statistische Analyse von Bilddaten.
     • Eine aktuelle Forschungsthematik, zu der in den letzten Jahren zahlreiche Publikationen veröffentlicht wurden, sind sogenannte Kopplungsalgorithmen der perfekten MCMC-Simulation.
     • Durch solche Kopplungsalgorithmen können beispielsweise zeitstationäre Gleichgewichtszustände von Sachverhalten/Objekten/Vorgängen nicht nur näherungsweise, sondern in einem gewissen Sinne ,,perfekt'' simuliert werden können.