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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Vorlesungsskript
Prof. Dr. Volker Schmidt
Stand: Wintersemester 2003/04
U
LM, IM
M
AI 2004
Contents
Einleitung
Was ist Stochastik?
Typische Fragestellungen und Ergebnisse
Beispiel
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Ereignisse als Mengen
Ereignissysteme
Wahrscheinlichkeitsmaße
Definition und elementare Eigenschaften
Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
Einfache Urnenmodelle
Geometrische Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Definition und Multiplikationssatz
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit; Bayessche Formel
Stochastische Unabhängigkeit
Zufallsvariablen und Zufallsvektoren
Definition von Zufallsvariablen
Verteilung und Verteilungsfunktion
Diskrete Zufallsvariablen; Wahrscheinlichkeitsfunktion
Grundlegende Klassen diskreter Verteilungen (Zusammenfassung)
Satz über monotone Klassen
Verteilungsfunktion; absolutstetige Zufallsvariablen
Zufallsvektoren
Definition, Verteilung und Verteilungsfunktion
Eigenschaften multivariater Verteilungsfunktionen
Weitere Beispiele von Zufallsvektoren
Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion; bedingte Verteilung; bedingte Dichte
Unabhängige Zufallsvariablen
Beispiele: Zufallsvektoren mit unabhängigen Komponenten
Funktionen von Zufallsvektoren
Zusammengesetzte Abbildungen
Lineare Transformation
Quadrierung
Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen Zufallsvariablen
Unabhängigkeit zusammengesetzter Abbildungen
Weitere Charakteristiken von Zufallsvariablen
Erwartungswert
Definition und Berechnungsformeln
Alternative Integral-Darstellungen
Weitere Eigenschaften des Erwartungswertes
Integral-Darstellung mittels Quantilfunktion
Varianz und höhere Momente
Definition und elementare Eigenschaften
Transformationssatz und Berechnungsformeln
Gemischte Momente
Transformationssatz für Zufallsvektoren
Multiplikationsformel und Kovarianz
Linearer Zusammenhang von Zufallsvariablen
Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix
Ungleichungen für Momente und Wahrscheinlichkeiten
Ungleichungen vom
-Typ
Jensen-Ungleichung
Tschebyschew-Ungleichung; Markow-Ungleichung
Konvergenzarten und Grenzwertsätze
Konvergenzarten
Definitionen und elementare Eigenschaften
Charakterisierung der Verteilungskonvergenz
Konvergenz zusammengesetzter Abbildungen; Satz von Slutsky
Gesetz der großen Zahlen
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Anwendungsbeispiele
Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz für Summen von unabhängigen Zufallsvariablen
Anwendungsbeispiele
Charakteristische Funktionen
Bedingungen von Lindeberg und Ljapunow
Anwendungsbeispiel: Dichteschätzung
Tabellen für Verteilungsfunktionen und Quantile
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Ursa Pantle 2004-05-10
-Typ